Decomposição de um número em fatores primos

A fatoração está diretamente relacionada com a multiplicação, haja vista que os fatores são os termos que multiplicamos para gerar o produto. Veja:

   2 → fator              26 → fator
x 3 → fator             x 7 → fator
   6 → Produto       182 → Produto

Os fatores primos da decomposição são obtidos por meio de divisões sucessivas. Recorde-se de que, para um número ser primo, ele deve ser divisível somente por 1 e ele mesmo, logo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 são primos. O número primo é considerado um fator quando ele for o divisor no algoritmo da divisão. A estrutura do algoritmo da divisão é a seguinte:

Dividendo | Divisor
Resto         Quociente

Realizando a divisão de 4 por 2, temos a seguinte situação:

Utilizando as divisões sucessivas, obtemos a fatoração completa, que representa a decomposição de um número em fatores primos. Veja um exemplo de divisões sucessivas do número 112 e, em seguida, a fatoração completa.

Exemplo: Decomponha o número 112 em fatores primos:

112| 2
   0 56 | 2
       0  28 | 2
            0  14 | 2
                 0  7 | 7
                     0  1

Toda vez que for realizar a decomposição de um número em fatores primos, lembre-se de que o divisor sempre será um número primo e a ordem de sucessão desses divisores, que são fatores, é crescente. Mudamos o número primo do divisor somente quando não é mais possível utilizá-lo na divisão. No exemplo acima, houve a mudança do divisor de número 2 para sete, uma vez que o dividendo passou a ser o sete e o único divisor para 7 é o próprio 7.

Ainda sobre o exemplo acima, a fatoração completa de 121 é:

112 = 2 . 2 . 2 . 2 . 7 = 2⁴ . 7

Além da estrutura do algoritmo da divisão, existe outra que pode ser utilizada para fatorar um número. Veja os três exemplos a seguir:

Exemplo: Encontre a forma fatorada completa dos números 234, 180 e 1620:

234|2
117|3
 39|3
 13|13
   1|

A forma fatorada completa do número 234 é: 2 . 3 . 3 . 13 = 2 . 3² . 13

Observe que todos os fatores são números primos e que a sucessão dos fatores acontece de forma crescente.

180|2
  90|2
  45|3
  15|3
    5|5
    1|

A forma fatorada completa do número 180 é: 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 2² . 3² . 5

Todos os termos que compõem a fatoração são números primos.

1620|2
  810|2
  405|3
  135|3
    45|3
    15|3
      5|5
      1|

A forma fatorada completa do número 1620 é: 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 5 = 2² . 3⁴ . 5

Todos os números que compõem a fatoração são primos.

Por Naysa Oliveira
Graduada em Matemática