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Matemático polonês nascido Lublinitz, Prussia, hoje Lubliniec, Polônia, naturalizado norte-americano (1940), um dos introdutores da computação nos cálculos da física. Filho mais velho de Siegmund Courant e Martha Freund, uma família de judeus, aos nove anos mudou-se para Breslau, onde estudou no Ginásio König-Wilhelms. Aos 14 anos sua família mudou-se para Berlim, mas ele permaneceu em Breslau. Estudando matemática e física, entrou para a universidade local (1905), onde estudou com os professores matemáticos Adolf Kneser, Georg Landsberg e Jakob Rosanes. e com os colegas estudantes Otto Toeplitz e Ernst Hellinger.
Deixou Breslau (1907), passou seis meses em Zurique e mudou-se em novembro para Göttingen (1907) onde estudou física-matemática com Hilbert e Minkowski. Tornou-se assistente de Hilbert (1908) com quem obteve seu doutorado (1910) com a tese Uber die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung. Após o serviço militar compulsório tornou-se professor de matemática em Göttingen (1912) onde permaneceu até o início da I Guerra Mundial, quando foi para o campo de batalha, foi ferido e acometido de febre tifóide.
Depois da guerra retornou à Göttingen (1918) e, divorciado de Nelly Neumann, casou-se (1919) com Nerina Runge, filha de Carle Runge, e passou a ensinar como privatdozent e desenvolver suas pesquisas. Assumiu uma cadeira de matemática em Münster (1920), mas voltou a Göttingen para fundar o Instituto de Matemática da Universidade de Göttingen do qual foi chefe (1922-1933). Perseguido pelo nazismo por sua origem judia, foi para a Inglaterra onde passou um ano como professor visitante em Cambridge, e depois (1934) foi para os EEUU.
Ali viveu muitas dificuldades até ser contratado para ensinar na New York University (1936), e notabilizou-se por ajudar numerosos colegas matemáticos que chegavam aos EEUU fugindo do nazismo. Voltou a Alemanha (1947), mas apenas como visitante. Foi diretor do novo Institute of Mathematical Sciences (1953-1958) da New York University, o qual passou a se chamar Courant Institute (1964).
Publicou vários livros e numerosos papers em revistas científicas, mas seu livro mais famoso, escrito com co-autoria de David Hilbert, foi Methoden der mathematischen Physik (1924), que criou as bases do uso da computação para a solução matemática de problemas de física. No período americano o mais conhecido foi What is mathematics? (1941), em co-autoria com o topologista Herbert Robbins. Morreu em New Rochelle, New York, USA.