Albert Girard (1590 – 1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de soma e produto entre as raízes de uma equação do 2º grau. Por volta do século XVII, inúmeros matemáticos ocidentais desenvolveram estudos no intuito de estabelecer relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática. O grande obstáculo era a presença de números negativos como resultado das raízes, o que não era aceito entre os estudiosos. Foi Girard que desenvolveu um método capaz de determinar as relações com a utilização de números negativos. Vamos observar as demonstrações a seguir, responsáveis pelas expressões da soma e do produto das raízes de uma equação do 2º grau.
Temos que uma equação do 2º grau possui a seguinte forma: ax² + bx + x = 0. Nessa expressão, temos que os coeficientes a, b e c são números reais, com a ≠ 0. As raízes de uma equação do 2º grau, de acordo com a expressão resolutiva são:
.jpg)
Soma entre as raízes
.jpg){kind=small}
Produto entre as raízes
Exemplo 1
Vamos determinar a soma das raízes da seguinte equação do 2º grau: x² – 8x + 15 = 0.
Soma
.jpg){kind=small}
Produto
.jpg){kind=small}
As relações de Girard não servem somente para determinarmos a soma e o produto de raízes. Elas são ferramentas utilizadas para compor equações do 2º grau. As equações são representadas por: x² – Sx + P = 0, onde S (soma) e P (produto).
Exemplo 2
Determine a equação do 2º grau, com a = 1, que possui como raízes os números 2 e – 5.
Soma
S = x1 + x2 → 2 + (–5) → 2 – 5 → – 3
Produto
P = x1 * x2 → 2 * (–5) → – 10
x² – Sx + P = 0
x² – (–3)x + (–10)
x² + 3x – 10 = 0
A equação procurada é x² + 3x – 10 = 0.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
.gif)
