O princípio aditivo da contagem realiza a união dos elementos de dois ou mais conjuntos. Isso porque a adição (+) e a união (U) relacionam-se, pois em ambos os operadores há a reunião de elementos. O princípio aditivo tem a sua origem na teoria dos conjuntos, que estudam as propriedades que estabelecem as relações entre os próprios conjuntos e entre os elementos dos conjuntos. Veremos a seguir a definição para o princípio aditivo da contagem.
Definição: Considerando A e B como conjuntos finitos disjuntos, ou seja, com a sua intersecção vazia, a união do número de elementos é dada por:
n (A U B) = n (A) + n (B)
n (A U B) → União do número de elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B;
n (A) → Número de elementos do conjunto A;
n (B) → Número de elementos do conjunto B.
Para que você compreenda melhor essa definição, vamos aplicá-la a um exemplo:
Exemplo: Em uma entrevista sobre qual cor se prefere entre o vermelho e o azul, 30 entrevistados responderam que preferem a cor vermelha e 50 responderam que preferem a cor azul. Calcule o número total de entrevistados.
Nessa questão, temos dois conjuntos finitos, que são os seguintes:
Conjunto A → Entrevistados que preferem a cor vermelha.
n (A) = 30
Conjunto B → Entrevistados que preferem a cor azul.
n (B) = 50
Para calcularmos a união desses dois conjuntos, devemos fazer o seguinte:
n (A U B) =n (A) + n (B) = 30 + 50 = 80
80 pessoas foram entrevistadas nessa pesquisa.
Representando esse exemplo por meio de diagramas, temos:
Se os conjuntos não fossem disjuntos, teríamos uma intersecção, que é dada pelos elementos que estão presentes em mais de um conjunto ao mesmo tempo. Quando esse tipo de situação ocorrer, a definição para o princípio aditivo da contagem será a seguinte:
Definição: Considere A e B como conjuntos finitos. O número de elementos dado pela união entre esses conjuntos é representado da seguinte forma:
n (A U B) =n (A) + n (B) - n (A B)
n (A U B) → União do número de elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B;
n (A) → Número de elementos do conjunto A;
n (B) → Número de elementos do conjunto B;
n (A B) = Número de elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
Veja um exemplo:
Exemplo: Em uma entrevista sobre qual cor se prefere entre vermelho, azul ou ambas, obteve-se com resposta que: 20 dos entrevistados preferem a cor vermelha; 40 preferem a cor azul; e 10 gostam de ambas as cores. Calcule o número total de entrevistados.
Nesse exemplo, temos os seguintes conjuntos finitos:
Conjunto A → Entrevistados que preferem somente a cor vermelha.
n (A) = 20
Conjunto B → Entrevistados que preferem a cor azul.
n (B) = 40
O número de elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B ao mesmo tempo é dado pela intersecção:
n (A B) = 10
Para calcular o total de entrevistados, faça:
n (A U B) = n (A) + n (B) - n (A B ) = 20 + 40 – 10 = 60 – 10 = 50
Por Naysa Oliveira
Graduada em Matemática
