Praticando as progressões

Através de alguns exemplos iremos demonstrar as formas de resolução utilizando as fórmulas das progressões aritméticas e geométricas.

Exemplo 1

Seja (a₁, a₂, a₃, ... , an, ... , a₅₀) uma progressão aritmética. Se a₂ = 14, a₅ – a₃ = 18 e an = 239, então k é igual a:

Resolução:
Retirando os dados do problema temos:

a₂ = 14
a₅ – a₃ = 18
an = 239
n = ?
Para o cálculo de k devemos utilizar a equação an= a₁ + (n – 1) * r , mas para darmos continuidade devemos achar o valor de a1 e de r, observe os cálculos abaixo:

Utilizando o termo geral da P.A, an = a₁ + (n –1) . r podemos dizer que:
a₂ = a₁ + r
14 = a₁ + r

Utilizando novamente o termo geral da P.A, podemos dizer que:
a₅ = a₁+ 4r e a₃ = a₁ + 2r

Substituindo na situação do problema a₅ – a₃ = 18, temos:

a₁ + 4r – a₁ – 2r = 18 → unindo os termos semelhantes.

a₁ – a₁ + 4r – 2r = 18 → reduzindo os termos semelhantes.

2r = 18

r = 18/2

r = 9

Agora devemos descobrir o valor de a1, para isso substituiremos o valor de r = 9 na equação 14 = a₁ + r:

a₁ + 9 = 14

a₁ = 14 – 9

a₁ = 5

Agora que sabemos que a₁ = 5 e r = 9, podemos calcular qual é o termo n:

an = a₁ + (n – 1) * r → Substituído os dados na equação.

239 = 5 + (n – 1) * 9

239 = 5 + 9n – 9 → unindo os termos semelhantes.

239 – 5 + 9 = 9n
243 = 9n

n = 243/9

n = 27

Assim, descobrimos que an é o vigésimo sétimo termo da P.A.


Exemplo 2

Uma P.G de razão 3 foi formada introduzindo-se três termos entre o 2º termo e 486. Qual o 1º termo da P.G?

Resolução:

q = 3
Como foram introduzidos três termos entre o 2º termo e 486 podemos então concluir que 486 é o sexto termo da P.G.

a₁ , a₂, a₃, a₄, a₅, 486

a₃ , a₄ e a₅ são os três termos introduzidos.

Então podemos dizer que a₆ = 486, utilizando o termo geral de uma P.G
an = a₁ * q^{n – 1}, temos:

a₆ = a₁ * q^{n – 1} → Substituindo os dados.

486 = a₁ * 3 ^{6 – 1}

486 = a₁ * 3 ⁵

486 = a₁ * 243

a₁ = 486/243

a₁ = 2

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática