Números Complexos

Ao resolver uma equação do 2º grau podemos obter três resultados, dependendo do valor do discriminante:
∆ > 0, duas raízes reais diferentes.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ < 0, nenhuma raiz real.

Resolvendo a equação do 2º grau dentro do universo dos números reais, os casos em que
∆ < 0 não podem ser resolvidos, pois não existe raiz de número negativo dentro do conjunto dos números reais.
O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo.
Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 .

Representamos um número complexo z = (x,y) sendo x Є R e y Є R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z.
Exemplos:

z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4
z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2

A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma:
x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau)
x² = –81
x = ±√–81
Temos (±9i)² = (±9)² * i² = 81 * (– 1 ) = – 81
x = ±9i


2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)
a = 2, b = -16, c = 50
∆ = b² - 4ac
∆ = (-16)² - 4 * 2 * 50
∆ = 256 – 400
∆ = -144

Temos (±12i)² = 144i² = 144*(-1) = -144.



x’ = 4 + 3i    e     x’’ = 4 – 3i

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática