Resolução da 3º equação fundamental

As equações trigonométricas são divididas em três equações fundamentais e cada uma delas trabalha com uma função diferente, e conseqüentemente tem uma forma diferente de ser resolvida.

A equação que representa a 3º equação fundamental da trigonometria é tg x = tg a com a ≠ π/2 + k π. Essa equação quer dizer que se dois arcos (ângulos) possuem o mesmo valor da tangente isso significa que possuem a mesma distância em relação ao centro do ciclo trigonométrico.

Na equação tg x = tg a, x é a incógnita (que é o valor de um ângulo) e a letra a é outro ângulo que poderá ser representado em graus ou radianos e que a sua tangente é a mesma de x.

A resolução dessa equação é feita da seguinte forma:

x = a + k π (k Z)

E a solução dessa resolução será montada da seguinte forma:

S = {x R | x = a + kπ (k Z)

Veja alguns exemplos de equações trigonométricas que são resolvidas utilizando o método da 3º equação fundamental.

Exemplo 1:

Dê o conjunto solução da equação tg x = 

Como tg  = , então:

tg x =   → tg x = 

x = π + k π (k Z)

S = {x R | x = π + kπ (k  Z) }
                        6

Exemplo 2:

Resolva a equação sec² x = (√3 – 1) . tg x + √3 + 1, para 0 ≤ x ≤ π.

O +1 que está no segundo membro passa para o 1º membro da igualdade, assim essa equação pode ser escrita da seguinte forma:

sec ² x -1 = (√3 -1) . tg x + √3

Como sec2 x – 1 = tg² x, logo:

tg² x = (√3 -1) tg x + √3

Passando todos os termos do 2º membro para o 1º membro teremos:

tg² x - (√3 -1) tg x - √3 = 0

Substituindo tg x = y, teremos:

y² – (√3 -1) y - √3 = 0

Aplicando Bháskara nessa equação do 2º grau encontraremos dois valores para y.

y’ = -1 e y” = √3

tg x = -1 → tg x = tg π → x = π
           3                     3

tg x = √3 → tg x = tg 3π → x = 3 π
                                  4               4

S = { x  R | x = π + k π e x = 3 π (k Z)} 
                          3                      4

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática