A fatoração de polinômios consiste em métodos desenvolvidos para reescrever um polinômio como um produto entre polinômios. Escrever o polinômio como a multiplicação entre dois ou mais fatores auxilia na simplificação de expressões algébricas e na compreensão de um polinômio.
Existem diferentes casos de fatoração, e para cada um deles há técnicas específicas. Os casos existentes são: fatoração por fator comum em evidência, fatoração por agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito, soma de dois cubos e diferença de dois cubos.
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Fatoração de polinômios são técnicas utilizadas para representar o polinômio como um produto entre polinômios.
Utilizamos essa fatoração para simplificação de expressões algébricas.
Os casos de fatoração são:
Para realizar a fatoração de um polinômio, é necessário analisar em qual dos casos de fatoração a situação se enquadra, sendo eles: fatoração por fator comum em evidência, fatoração por agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito, soma de dois cubos e diferença de dois cubos. Vejamos como realizar a fatoração em cada um deles.
Utilizamos esse método de fatoração quando há um fator comum a todos os termos do polinômio. Esse fator comum será colocado em evidência como um fator, e o outro fator, resultado da divisão dos termos por esse fator comum, será colocado dentro dos parênteses.
Exemplo 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Analisando cada termo desse polinômio, é possível perceber que x se repete em todos os termos. Além disso, todos os coeficientes (20, 12, e 8) são múltiplos de 4, logo, o fator comum a todos os termos é 4x.
Dividindo cada termo pelo fator comum, temos:
20xy : 4x = 5y
12x² : 4x = 3x
8xy² : 4x = 2y²
Agora, escreveremos a fatoração colocando o fator comum em evidência e a soma dos resultados encontrados entre parênteses:
4x (5y + 3x + 2y²)
Exemplo 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Analisando a parte literal de cada termo, é possível perceber que a²b se repete em todos. Note que não há um número que seja divisor de 2, 3 e – 4 ao mesmo tempo. Logo, o fator comum será apenas a²b.
2a²b² : a²b = 2b
3a³b : a²b = 3a
4a5b³ : a²b = 4a³
Assim, a fatoração desse polinômio será:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Veja também: Adição, subtração e multiplicação de polinômios — entenda como são feitas
Esse método é utilizado quando não há um fator comum a todos os termos do polinômio. Nesse caso, identificamos termos que podem ser agrupados possuindo fator comum e os colocamos em evidência.
Exemplo:
Fatore o seguinte polinômio:
ax + 4b + bx + 4a
Agruparemos os termos que possuem a e b como fator comum:
ax + 4a + bx + 4b
Colocando a e b em evidência nos termos de dois a dois, temos:
a(x + 4) + b(x + 4)
Note que dentro dos parênteses os fatores são os mesmos, então podemos reescrever esse polinômio como:
(a + b) (x + 4)
Trinômios são polinômios com 3 termos. Um polinômio é conhecido como trinômio quadrado perfeito quando ele é resultado do quadrado da soma ou do quadrado da diferença, ou seja:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²
Importante: Nem sempre que houver três termos esse polinômio será um trinômio quadrado perfeito. Portanto, antes de realizar a fatoração, deve-se verificar se o trinômio se enquadra nesse caso.
Exemplo:
Fatore, se possível, o polinômio
x² + 10x + 25
Após analisar esse trinômio, extrairemos a raiz quadrada do primeiro e do último termo:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
É importante verificar se o termo central, ou seja, 10x, é igual a \(2\cdot\ x\cdot5\). Note que de fato é igual. Sendo assim, esse é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado por:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
Quando temos uma diferença de dois quadrados, podemos fatorar esse polinômio reescrevendo-o como o produto da soma pela diferença.
Exemplo:
Fatore o polinômio:
4x² – 36y²
Primeiramente, calcularemos a raiz quadrada de cada um dos seus termos:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Agora, reescreveremos esse polinômio como o produto da soma pela diferença das raízes encontradas:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
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A soma de dois cubos, ou seja, a³ + b³, pode ser fatorada como:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Exemplo:
Faça a fatoração do polinômio:
x³ + 8
Sabemos que 8 = 2³, então:
x³ + 8 = (x + 2) (x² – 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² – 2x + 4)
A diferença de dois cubos, ou seja, a³ – b³, não muito diferente da soma de dois cubos, pode ser fatorada como:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Exemplo:
Faça a fatoração do polinômio
8x³ – 27
Sabemos que:
8x³ = (2x)³
27 = 3³
Então temos que:
\(8x^3-27=\left(2x-3\right)\)
\(8x^3-27=\left(2x-3\right)\left(4x^2+6x+9\right)\)
Questão 1
Utilizando a fatoração de polinômios para simplificar a expressão algébrica \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\) , encontraremos:
A) x + 2
B) x – 2
C) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x – 2) (x + 2)
Resolução:
Alternativa D
Analisando o numerador, observamos que x² + 4x + 4 é um caso de trinômio quadrado perfeito e pode ser reescrito como:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Já o numerador x² – 4 é a diferença de dois quadrados e pode ser reescrito como:
x² – 4 = (x + 2) (x – 2)
Portanto:
\(\frac{\left(x+2\right)^2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)
Note que o termo x + 2 aparece tanto no numerador quando no denominador, então sua simplificação se dá por:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
Questão 2
(Instituto Unifil) Considerando que dois números, x e y, são tais que x + y = 9 e x² – y² = 27, o valor de x é igual a:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Resolução:
Alternativa C
Note que x² – y² é a diferença entre dois quadrados e pode ser fatorada como o produto da soma pela diferença:
x² – y² = (x + y) ( x – y)
Sabemos que x + y = 9:
(x + y) (x – y) = 27
9 (x – y) = 27
x – y = 27 : 9
x – y = 3
Logo, podemos montar um sistema de equação:
\( \begin{cases} x+y=9 & \quad\\ x-y=3 & \quad \end{cases} \)
Realizando a soma das duas linhas:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Fonte: Brasil Escola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm