Argumento de um número complexo

Chamamos de argumento de um número complexo o ângulo no sentido anti-horário que um número complexo representado na forma geométrica faz com o eixo horizontal do plano.

Argumento de um número complexo é o ângulo θ formado com o eixo horizontal e o segmento de reta que liga a representação geométrica de um número complexo à origem do plano de Argand-Gauss. Dado um número complexo da forma x + yi, podemos representá-lo em sua forma geométrica como o ponto Z(x, y).

Quando representamos esse ponto no plano cartesiano, é possível traçar o segmento que vai do ponto Z(x, y) até a origem do plano O(0, 0). Então, para encontrar o valor do ângulo formado pelo segmento de reta OZ e o eixo da parte real do plano no sentido anti-horário, utilizamos as razões trigonométricas seno e cosseno, pois sabendo o valor do seno ou do cosseno do ângulo θ é possível descobrir o valor de θ consultando uma tabela trigonométrica. Em alguns casos, é comum que se trate de um ângulo notável. Representamos o argumento de um número complexo z por arg(z), sendo que arg(z) = θ.

Veja também: Propriedades envolvendo números complexos

Resumo sobre argumento de um número complexo

O que é o argumento de um número complexo?

Os números complexos podem ser representados no plano complexo, conhecido também como plano de Argand-Gauss. Com a representação geométrica, é possível analisar o número complexo não só de forma algébrica, mas também de forma geométrica.

Dado um número complexo de forma algébrica z = x + yi, ele pode ser representado no plano de pelo ponto Z(x, y). Conhecendo o ponto Z, podemos traçar o segmento OZ, que vai da origem até o ponto em questão. Dessa forma, é possível encontrar o ângulo formado entre o eixo horizontal, conhecido como eixo da parte real, e o segmento de reta OZ. O ângulo formado é igual ao argumento do número complexo. Portanto, dizemos que arg(z) = θ.

Veja, na imagem a seguir, a representação do argumento do número complexo em forma geométrica.

Representação do argumento do número complexo na forma geométrica
O argumento do número complexo é igual ao ângulo θ.

Calcular o argumento de um número complexo é, então, encontrar o ângulo θ. Para isso, é necessário saber calcular o módulo de um número complexo, ou seja, o valor de |z|, pois vamos recorrer à trigonometria para encontrar o valor de arg(z).

Módulo de um número complexo

Para calcular o argumento de um número complexo, é fundamental nos lembrarmos de como se calcula o módulo desse número e o seu significado. Sendo Z(x,y) a representação do número complexo z = x + yi, |z| é igual à distância que esse número se encontra em relação à origem quando representado geometricamente. Assim, |z| será o valor do comprimento do segmento OZ.

Sabemos que |z| é a hipotenusa do triângulo retângulo que possui catetos medindo x e y. Desse modo, para encontrar o valor de |z|, recorremos ao teorema de Pitágoras.

|z|² = x² + y²

Exemplo:

Encontre o |z| do número complexo z = 6 – 8i.

Resolução:

Sabemos que:

x = 6 e y = – 8

Então, calcula-se:

|z|² = x² + y²

|z|² = 6² + ( – 8)²

|z|² = 36 + 64

|z|² = 100

|z| = √100

|z| = 10

Leia também: Representação geométrica da soma de números complexos

Como calcular o argumento de um número complexo?

Utilizamos as razões trigonométricas seno e cosseno do ângulo θ para encontrar o valor do argumento de um número complexo. Elas são iguais ao argumento do número complexo z.

Cosseno e seno do ângulo θ

Como os valores de x e y são conhecidos, é necessário calcular o valor de |z| e depois descobrir o valor de cada uma das razões trigonométricas. Conhecendo o valor do seno e do cosseno de θ, é possível encontrar o valor de θ consultando uma tabela trigonométrica.

Exemplo 1:

Qual é o argumento do número complexo z = 1 – i?

Resolução:

Primeiramente, calcularemos |z|:

|z|² = 1² + ( – 1)²

|z|² = 1 + 1

|z|² = 2

|z| = √2

Agora, calcularemos o cosseno de θ:

Cálculo do cosseno de θ

Calcularemos também o valor do seno de θ:

Cálculo do seno de θ

Sabemos que o ângulo que possui seno e cosseno iguais a √2/2 é o ângulo de 45°. Porém, note que o seno é negativo, portanto esse é um ângulo do 4º quadrante. O ângulo simétrico ao ângulo de 45° no 4º quadrante é igual a 360 – 45 = 315°. Assim, temos que:

θ = 315°

Logo, podemos afirmar que arg(z) = 315°.

Exemplo 2:

Calcule o valor do argumento do número complexo √3 + i.

Resolução:

Calculando |z|, temos o seguinte:

|z|² = √3² + 1²

|z|² = 3 + 1

|z|² = 4

|z| = √4

|z| = 2

Agora, calculando o valor do cosseno e do seno desse ângulo, obtém-se:

Cálculo do valor do cosseno e do seno de θ

O ângulo que possui seno igual a √3/2 e cosseno igual a 1/2 é o ângulo de 60°. Portanto, temos que arg(z) = 60°.

Leia também: Operações de números complexos na forma trigonométrica

Exercícios resolvidos sobre argumento de número complexo

Questão 1

(Prefeitura do Rio de Janeiro) Um número complexo z tem módulo 2 e argumento 45°. Se z for escrito em sua forma algébrica a + bi, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária, o valor da soma a + b equivale a:

A) 2

B) √3/2

C) √2

D) 2√2

Resolução:

Alternativa D

Sabemos que |z| = 2. Então, temos que:

Calculando valor de a e b

Então, a soma de a + b = √2 + √2 = 2√2.

Questão 2

(Quadrix) Observe o número complexo a seguir, representado graficamente, por meio de um plano de Argand-Gauss.

Número complexo representado graficamente por meio de um plano de Argand-Gauss

Assinale a alternativa que contém o valor do argumento desse número complexo.

A) √3

B) 1

C) 2

D) 0

E) π/6

Resolução:

Alternativa E

O argumento do número complexo z é igual ao ângulo que ele faz com o eixo horizontal — no caso, igual a π/6.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática


Fonte: Brasil Escola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/argumento-um-numero-complexo.htm