O que são conjuntos numéricos?

Os conjuntos numéricos são agrupamentos de números com características específicas e foram surgindo ao longo da história conforme as necessidades humanas evoluíam, como contar, medir, representar dívidas ou expressar grandezas que não podem ser fracionadas.

Os conjuntos numéricos são: o dos números naturais (representado por ℕ), usado para contar objetos; o dos números inteiros (ℤ), que inclui os negativos, para representar, por exemplo, dívidas; o dos números racionais (ℚ), utilizado para expressar frações e divisões exatas; e o dos números irracionais (não podem ser representados por uma fração, como √2 e π), que completa o conjunto dos números reais (ℝ).

Cada conjunto tem propriedades específicas e relações entre si, formando uma hierarquia, em que um conjunto está contido no outro. Esses conjuntos e suas propriedades são fundamentais para compreender-se toda a base da Matemática.

Leia também: Como resolver operações com conjuntos?

Resumo sobre conjuntos numéricos

• Os conjuntos numéricos são agrupamentos de números com características em comum.
• Surgiram conforme as necessidades humanas de contar, medir, dividir, entre outras.
• Os conjuntos numéricos são:
  • Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4…}.
  • Conjunto dos números inteiros: Z = {…-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3…}.
  • Conjunto dos números racionas, representado por ℚ e formado pelos números que podem ser escritos como fração.
  • Conjunto dos números irracionais, formado pelos números que não podem ser representados como fração.
  • Conjunto dos números reais é a união dos racionais com os irracionais.

Videoaula sobre conjuntos numéricos

Quais são os conjuntos numéricos?

→ Conjunto dos números naturais ℕ

O primeiro conjunto a surgir foi o dos números naturais, representado pela letra ℕ e composto pelos números inteiros não negativos, ou seja, {0, 1, 2, 3...}. Os números naturais são os números que utilizamos para a contagem no dia a dia.

Observação: Alguns autores não consideram o 0 como número natural, já outros, sim.

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4 ...}

→ Conjunto dos números inteiros Z

O segundo conjunto é o dos números inteiros, uma ampliação do conjunto dos números naturais. O conjunto dos números inteiros é formado pelos números que já conhecemos como naturais e pelos opostos desses números. No conjunto dos números inteiros, há o contato com os primeiros números negativos.

ℤ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...}

→ Conjunto dos números racionais Q

Acontece que os números inteiros não eram suficientes para representar todos os números conhecidos e foi então que surgiu a necessidade de ampliar-se o conjunto, formando-se agora o conjunto dos números racionais. O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser representados como uma fração. Podemos escrever o conjunto dos números assim:

\(\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \lor \, a,b \in {Z} \text{ e } b \neq 0 \right\} \)

→ Conjunto dos números irracionais I

Nem todos os números poderiam ser representados como fração, sendo assim, nem todos os números são racionais. Desse modo, o conjunto dos números irracionais surgiu e é formado por números que não podem ser representados como frações. Os números irracionais têm expansões decimais infinitas e não periódicas. Exemplos incluem:

• \(\sqrt{5}\)
• π
• 1,94023921....

Então os números irracionais são as raízes não exatas e as dízimas não periódicas. Diferentemente dos conjuntos anteriores, o conjunto dos números irracionais não é a ampliação de nenhum conjunto, porém ele surge da necessidade de se classificar os números que não podem ser representados como fração.

→ Conjunto dos números reais ℝ

O conjunto dos números reais surgiu para unir todos os conjuntos que foram apresentados anteriormente, sendo assim ele é a união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais.

Veja também: O que é uma dízima periódica?

Símbolos dos conjuntos numéricos

• ℕ: conjunto dos números naturais
• ℤ: conjunto dos números inteiros
• ℚ: conjunto dos números racionais
• I: conjunto dos números irracionais
• ℝ: conjunto dos números reais

Propriedades dos conjuntos numéricos

Os conjuntos numéricos apresentam diversas propriedades importantes que ajudam a entender como funcionam as operações dentro de cada conjunto. A seguir, estão algumas das principais:

• Propriedade do fechamento: um conjunto é considerado fechado em relação a uma operação quando o resultado dessa operação entre dois elementos do conjunto também pertence a ele. Por exemplo, o conjunto dos números naturais é fechado para a adição, pois a soma de dois naturais também é um número natural. No entanto, ele não é fechado para a subtração, já que a diferença entre dois naturais pode não ser um número natural (Ex.: 3 – 5 = -2, um número inteiro).

• Propriedade associativa: essa propriedade diz que a forma como agrupamos os números em uma operação não altera o resultado, desde que a operação seja a mesma. Por exemplo, na adição entre números reais:

(a + b) + c = a + (b + c)

Isso também vale para a multiplicação:

(a × b) × c = a × (b × c)

• Propriedade comutativa: indica que a ordem dos fatores não interfere no resultado da operação, ou seja, trocar os números de lugar não muda o valor final. Exemplos:

a + b = b + a
a × b = b × a

• Elemento neutro: é o número que, quando usado em uma operação com outro número qualquer do conjunto, não altera esse número.
  • Na adição, o elemento neutro é o 0, pois:
    a + 0 = a
  • Na multiplicação, o elemento neutro é o 1, pois:
    a × 1 = a

• Propriedade distributiva: essa propriedade conecta duas operações — multiplicação e adição. Ela afirma que multiplicar um número por uma soma é o mesmo que multiplicá-lo separadamente por cada termo da soma e depois somar os resultados:

a × (b + c) = a × b + a × c

Saiba mais: Diagrama de Venn — outra maneira de representar um conjunto

Exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos

Questão 1

O número -7 pertence a quais dos seguintes conjuntos numéricos?

A) Apenas ao conjunto dos naturais.
B) Apenas aos números racionais.
C) Aos inteiros e aos racionais.
D) Apenas aos irracionais.
E) Aos reais e aos irracionais.

Resolução: Alternativa C

Sabemos que o número -7 pertence ao conjunto dos números inteiros e ao conjunto dos números racionais.

Questão 2

Considere o número \(\sqrt{25}\). Sobre esse número, é correto afirmar que ele pertence:

A) Apenas aos números racionais.
B) Apenas aos números irracionais.
C) Apenas aos números inteiros.
D) Aos números naturais, inteiros e racionais.
E) Apenas aos números reais.

Resolução: Alternativa D

Calculando, temos que: \(\sqrt{25} = 5 \)

Cinco é um número natural. Como todo número natural é inteiro e racional, podemos afirmar que 5 é um número natural inteiro e racional.

Fontes

E.L. Lima, P.C.P. Carvalho, E. Wagner e A.C. Morgado; A Matemática do Ensino Médio, Vol. 1, 10.ed. 2012.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da matemática: 9º ano. 1. ed. São Paulo: FTD Educação, 2022