Quadriláteros

Quadriláteros são polígonos com quatro lados. Diversos objetos, móveis e construções apresentam formas com quatro lados: janelas, pôsteres, capas de livros, folhas de caderno, telas de monitores e celulares, azulejos, pisos, etc.

Leia também: Classificação dos polígonos — regulares, irregulares, convexos e não convexos

Resumo sobre quadriláteros

• Polígonos com quatro lados são quadriláteros.

• Os três elementos básicos que constituem os quadriláteros são os lados, os vértices e os ângulos internos.

• Paralelogramos são quadriláteros com 2 pares de lados paralelos.

• O retângulo é um paralelogramo com 4 ângulos retos.

• O quadrado é um paralelogramo com 4 ângulos retos e quatro lados congruentes.

• O losango é um paralelogramo com 4 lados congruentes.

• O trapézio é um quadrilátero com 1 par de lados paralelos, chamados de bases.

Videoaula sobre quadriláteros

Elementos dos quadriláteros

Os quadriláteros são constituídos por três elementos principais: lados, vértices e ângulos internos.

• Lados são os segmentos de reta que delimitam o quadrilátero.

• Vértices são os pontos em que dois lados se encontram.

• Ângulos internos são as aberturas formadas por dois lados adjacentes.

Exemplo:

No quadrilátero ABCD, temos que

• AB, BC, CD e AD são os lados;

• A, B, C e D são os vértices;

• \(\hat{A}\), \(\hat{B}\), \(\hat{C}\) e \(\hat{D}\) são os ângulos internos.

Observação: uma propriedade comum a todos os quadriláteros convexos é que a soma dos ângulos internos é 360°.

A diagonal é outro elemento importante dos quadriláteros e consiste no segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos. No quadrilátero ABCD, as diagonais são os segmentos AC e BD.

Tipos de quadriláteros

Os quadriláteros são classificados de acordo com a quantidade de lados paralelos.

• Os quadriláteros com 2 pares de lados paralelos são chamados de paralelogramos.

• Os quadriláteros com 1 par de lados paralelos são chamados de trapézios.

Também há quadriláteros que não possuem nenhum par de lados paralelos, como o quadrilátero ABCD do tópico anterior.

Veja também: O que são retas paralelas?

Paralelogramos

Paralelogramos são quadriláteros com lados opostos paralelos. Consequentemente, os lados opostos e os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

O retângulo, quadrado e losango são casos particulares de paralelogramos, como veremos adiante.

• Retângulos

Um paralelogramo cujos ângulos são retos é chamado de retângulo.

Assim, o retângulo apresenta as seguintes características:

• lados opostos congruentes;

• quatro ângulos de 90°;

• diagonais congruentes que se interceptam nos respectivos pontos médios.

Agora que sabemos o que é um retângulo, vamos descobrir como calcular a diagonal, o perímetro e a área desse quadrilátero.

• • Fórmulas do quadrilátero retângulo

Considere um retângulo de largura a e comprimento b. Perceba que a medida da diagonal d pode ser obtida pela aplicação do teorema de Pitágoras:

\(d^2=a^2+b^2\)

\(d_{retângulo} =\sqrt{a^2+b^2}\)

Como o perímetro de um polígono é a soma de todos os lados, o perímetro P desse retângulo é dado por

\(P_{retângulo} =a+a+b+b\)

\(P_{retângulo} = 2a + 2b\)

\(P_{retângulo} =2⋅(a+b)\)

Já a área A de um retângulo é o produto entre o comprimento e a largura, ou seja

\(A_{retângulo} =a⋅b\)

• Quadrado

Um paralelogramo cujos ângulos são retos e os lados são congruentes é chamado de quadrado.

Portanto, o quadrado possui as seguintes características:

• quatro lados congruentes;

• quatro ângulos de 90°;

• diagonais congruentes que se interceptam nos respectivos pontos médios.

Note que o quadrado também pode ser classificado como um retângulo, pois é um paralelogramo com quatro ângulos retos. No entanto, o contrário não é verdade, ou seja, o retângulo não é um quadrado, pois não possui quatro lados congruentes.

Agora que sabemos exatamente o que é um quadrado, vejamos como calcular a medida da diagonal, do perímetro e da área desse polígono.

• • Fórmulas do quadrilátero quadrado

Considere um quadrado de lado a. Note que a medida da diagonal d pode ser determinada pelo teorema de Pitágoras:

\(d^2=a^2+a^2\)

\(d^2=2a^2\)

\(d_{quadrado} =a\sqrt2\)

Já o perímetro é a soma dos quatro lados de medida a, ou seja

\(P_{quadrado} =a+a+a+a\)

\(P_{quadrado} =4a\)

Por fim, a área é o produto entre dois lados adjacentes, ou seja

\(A_{quadrado} =a⋅a\)

\(A_{quadrado} =a^2\)

• Losango

Um paralelogramo cujos lados são congruentes é chamado de losango.

Logo, o losango apresenta as seguintes características:

• quatro lados congruentes;

• ângulos opostos congruentes;

• diagonais perpendiculares que se interceptam nos respectivos pontos médios.

Perceba que o quadrado também pode ser classificado como um losango, pois é um paralelogramo com quatro lados congruentes. No entanto, o contrário não é verdade, ou seja, o losango não é um quadrado, pois não possui quatro ângulos retos.

Agora que conhecemos o losango, vamos descobrir como calcular a medida da área e do perímetro desse polígono.

• • Fórmulas do quadrilátero losango

Considere um losango de lado l, diagonal menor d e diagonal maior D. Como o perímetro de um polígono é a soma das medidas dos lados, o perímetro P do losango é dado por

\(P_{losango} =l+l+l+l\)

\(P_{losango} =4⋅l\)

Já a área é a metade do produto entre a diagonal maior D e a diagonal menor d:

\(A_{losango} =\frac{D⋅d}2\)

Trapézio

Como estudamos no início do texto, um trapézio é um quadrilátero que possui um par de lados paralelos. Esses lados são chamados de bases, e os lados não paralelos são chamados de laterais do trapézio.

• Fórmulas do quadrilátero trapézio

Considere um trapézio em que a base menor mede b, a base maior d e as laterais a e c. Assim, o perímetro P do trapézio é dado por

\(P_{trapézio} =a+b+c+d\)

Já a área é a metade do produto entre a altura do trapézio (que é a distância entre as bases) e a soma das bases:

\(A_{trapézio} =\frac{base\ menor\ +\ base\ maior ⋅h}2\)

\(A_{trapézio} =\frac{(b+d)⋅h}2\)

Saiba mais: Como calcular a área de figuras planas

Qual a diferença entre quadrilátero convexo e quadrilátero côncavo?

Um polígono é chamado de convexo se, dados dois pontos pertencentes ao polígono, o segmento com extremidades nesses pontos está contido no polígono. Caso contrário, o polígono é não convexo (ou côncavo). O mesmo se aplica no caso dos quadriláteros, conforme o exemplo abaixo.

Note que os pontos M e N pertencem ao primeiro quadrilátero, e o segmento MN está contido nesse quadrilátero. Isso se observaria para quaisquer dois pontos pertencentes ao polígono. Assim, é um quadrilátero convexo.

Agora observe que os pontos P e O pertencem ao segundo quadrilátero, mas o segmento PO não está contido nesse quadrilátero. Sendo assim, esse é um quadrilátero não convexo (côncavo).

Exercícios resolvidos sobre quadriláteros

Questão 1

Se o perímetro de um quadrado mede 100 cm, a área desse polígono é igual a

a) 1000 cm²

b) 625 cm²

c) 500 cm²

d) 400 cm²

e) 250 cm²

Resolução

Considere a o lado do quadrado. Assim,

\(P_{quadrado} =4a\)

\(100 = 4a\)

\(a = 25\ cm\)

Portanto,

\(A_{quadrado} =a^2\)

\(A_{quadrado} =25^2\)

\(A_{quadrado} =625\ cm^2\)

Alternativa B.

Questão 2

Considere um retângulo cuja diagonal mede 10 cm e a largura mede 6 cm. Nessas condições, a medida do comprimento, em centímetros, é igual a

a) 8

b) 10

c) 12

d) 14

e) 16

Resolução

Sendo b o comprimento do retângulo,

\(d_{retângulo} =\sqrt{a^2+b^2}\)

\(10=\sqrt{6^2+b^2}\)

\(10^2=6^2+b^2\)

\(100=36+b^2\)

\(b^2=64\)

\(b= 8\ cm\)

Alternativa A.

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática