Permutação simples

Permutação simples é todos os agrupamentos ordenados que podem ser formados com todos os elementos de determinado conjunto.

A permutação simples é um dos tipos de agrupamentos estudados na análise combinatória. Utilizamo-la para resolver situações-problema do cotidiano. Conhecemos como permutação simples todos os agrupamentos ordenados que podem ser formados com os \(n\) elementos de um conjunto. Para calcular a permutação de \(n\) elementos, representada por \(P_n\), basta calcular o valor de \(n\)!, logo, temos que \(P_n=n\)!.

Saiba mais: Chances de ganhar na Mega-Sena um cálculo que envolve conceitos de análise combinatória

Resumo sobre permutação simples

O que é permutação simples?

A permutação simples é um dos agrupamentos estudados na análise combinatória. Trata-se de todos os agrupamentos ordenados que podemos formar com os n elementos de um conjunto. No caso desse tipo de permutação, a ordem é importante.

Exemplo:

Uma fila é composta por 3 pessoas, Amanda, Beatriz e Caio, nessa situação, os 3 podem ser ordenados de 6 maneiras distintas. Quais são elas?

Resolução:

- Amanda, Beatriz e Caio;

- Amanda, Caio e Beatriz;

- Beatriz, Caio e Amanda;

- Beatriz, Amanda e Caio;

- Caio, Amanda e Beatriz;

- Caio, Beatriz e Amanda.

Nesse caso, foram listadas todas as permutações possíveis com esses três elementos. É importante ressaltar que, em uma permutação, a ordem dos elementos é importante, e, como vimos nesse exemplo, temos uma fila e a ordem importa.

Leia também: Arranjo simples — todos os agrupamentos formados com n elementos tomados de k em k

Qual a fórmula da permutação simples?

Para calcular todas as permutações possíveis com determinado conjunto, a permutação de n elementos, representada por \(P_n\), é calculada por:

\(P_n=n!\)

Como calcular a permutação simples?

Para calcular a permutação de um conjunto com n elementos, basta calcular o fatorial do número de elementos, ou seja, n!, e calcular o fatorial de um número é realizar a multiplicação dele pelos seus antecessores.

\(P_2=2!=2\cdot1=2\)

\(P_3=3!=3\cdot2\cdot1=6\)

\(P_4=4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24\)

\(P_5=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\)

\(P_6=6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720\)

\(P_7=7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040\)

Exemplo:

Em uma urna, há 8 bolas de 8 cores distintas, então qual o número de maneiras distintas que podemos retirar essas bolas uma a uma?

Resolução:

Note que, nesse caso, estamos permutando 8 elementos dentro de um conjunto. Calcularemos então a permutação de 8 elementos.

\(P_8=8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=40.320\)

Diferença entre permutação simples e permutação com repetição

Além da simples, existe a permutação com repetição. A diferença é que, quando temos uma repetição, o total de permutações possíveis será calculado por uma fórmula diferente.

Supondo que nós temos n elementos, e que um deles se repete k1 vezes, o outro k2, e assim sucessivamente, o número de permutações que podemos formar com esses n elementos é calculado por:

\(P_n^{k_1,k_2,\ldots k_j}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot\ldots\cdot k_j!}\)

Exemplo:

Quantos anagramas podemos formar com o nome BANANA?

Resolução:

Conhecemos como anagramas todos os reordenamentos possíveis que podemos criar com as letras de uma palavra, logo, estamos calculando permutações. Note que, nesse caso, a letra A se repete 3 vezes e a letra N, 2 vezes, então temos que:

\(P_6^{3,2}=\frac{6!}{3!2!}\)

\(P_6^{3,2}=\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!2!}\)

\(P_6^{3,2}=\frac{6\cdot5\cdot4}{2!}\)

\(P_6^{3,2}=\frac{120}{2}\)

\(P_6^{3,2}=60\)

Desse modo, há 60 anagramas possíveis.

Exercícios resolvidos sobre permutação simples

Questão 1

Em uma corretora de valores, quando o cliente fica muito tempo sem utilizar o site, para voltar ao uso, é necessário que ele clique nos símbolos & * % $ @ na ordem escolhida durante a criação da conta. Se um funcionário da corretora não sabe a ordem escolhida pelo usuário, tenta descobri-la. Supondo que não haja nenhum bloqueio por erros sucessivos, então o número máximo de tentativas necessárias para desbloquear essa conta é:

A) 5040

B) 720

C) 120

D) 24

E) 6

Resolução:

Alternativa C

Note que há, ao todo, 5 símbolos. Sabendo disso, calcularemos a permutação de 5 elementos.

Então calcularemos \(P_5\):

\(P_5=5!\)

\(P_5=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\)

\(P_5=120\)

Desse modo, há 120 maneiras distintas de sequências possíveis para os 5 símbolos.

Questão 2

A Mega-Sena é um jogo composto por um sorteio de 6 números escolhidos entre 60 números. Para ganhar o prêmio máximo, o apostador precisa acertar os 6 números que serão sorteados, independentemente da ordem do sorteio. Ao realizar uma aposta, Pedro escolheu os números 03, 20, 38, 40, 52 e 59, então o número de maneiras distintas que os números escolhidos por Pedro podem ser sorteados, de forma que ele seja o vencedor, é:

A) 120

B) 360

C) 520

D) 720

E) 1040

Resolução:

Alternativa D

Para calcular o total de resultados que torna Pedro vitorioso, basta fazer a permutação de 6 elementos.

\(P_6=6!\)

\(P_6=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\)

\(P_6=720\)

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática


Fonte: Brasil Escola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/permutacao-simples.htm