Arranjo simples

Arranjo simples é um dos agrupamentos estudados na análise combinatória, área da matemática que desenvolve técnicas de contagem dos tipos de combinações possíveis.

O arranjo simples é um tipo de agrupamento estudado na análise combinatória. Conhecemos como arranjo todos os agrupamentos formados com n elementos tomados de k em k, sabendo que o valor de n > k.

Para diferençar o arranjo dos outros agrupamentos (a combinação e a permutação), é importante compreender que, na combinação, a ordem dos elementos no conjunto não é importante e que, no arranjo ela é. Além disso, na permutação, todos os elementos do conjunto estão envolvidos, já no arranjo, escolhemos parte do conjunto, no caso, expresso por k elementos do conjunto.

Para calcular qualquer um desses agrupamentos e, em especial, o arranjo, é necessário a utilização de fórmulas específicas para cada um deles. Existem várias aplicações de arranjo, uma delas é na elaboração de senhas bancárias. Você já se perguntou quantas senhas são possíveis de se criar com certos números e letras? É por meio do arranjo que conseguimos responder a essa pergunta.

Leia também: O que é o princípio fundamental da contagem?

Um dos exemplos de aplicação de arranjo são as combinações possíveis para uma senha.
Um dos exemplos de aplicação de arranjo são as combinações possíveis para uma senha.

Qual a fórmula do arranjo simples?

Existem problemas de arranjo em que não é necessário utilizar a fórmula, por serem problemas simples. Por exemplo, dado o conjunto {a, b, c}, de quantas formas distintas podemos escolher 2 elementos desse conjunto de forma que a ordem seja importante?

Para resolver esse problema, basta reescrevermos os agrupamentos possíveis. Trata-se de um arranjo porque estamos pegando sequências de 2 elementos de um conjunto que possui 3 elementos. Os arranjos possíveis são:

A{(a, b); (b, a); (a, c); (c, a); (a, d); (d, a); (b, c); (c, b); (b, d); (d, b); (c, d); (d, c)}

Nesse caso podemos dizer que existem 12 arranjos possíveis, com 3 elementos tomados de 2 em 2. Muitas vezes o interesse está na quantidade de arranjos possíveis e não na lista, como fizemos anteriormente.

Para resolver problemas de arranjo, ou seja, encontrar quantos arranjos existem de n elementos tomados de k em k, utilizamos a seguinte fórmula:

Como calcular o arranjo simples?

Para contar a quantidade de arranjos em uma determinada situação, basta identificar quantos elementos têm no conjunto e quantos elementos serão escolhidos desse conjunto, ou seja, qual o valor de n e qual é o valor de k na situação, posteriormente basta substituir na fórmula os valores encontrados e calcular os fatoriais.

Exemplo 1:

Quantos arranjos existem de 9 elementos tomados de 3 em 3?

n = 9 e k = 3

Exemplo 2:

As senhas de um determinado banco são formadas por quatro dígitos, sendo que os algarismos utilizados não poderiam aparecer duas vezes na mesma senha. Sendo assim, qual e a quantidade de senhas possíveis para esse sistema?

Estamos lidando com um problema de arranjo, pois, em uma senha, a ordem é importante, e há 10 opções de algarismos (todos os números de 0 até 9), dos quais escolheremos 4.

n = 10

k = 4

Leia também: Princípio aditivo da contagem — união de um ou mais conjuntos

Arranjo simples e combinação simples

Para quem está estudando análise combinatória, um dos pontos mais importantes é a diferenciação entre problemas que podem ser resolvidos com arranjo simples e problemas que podem ser resolvidos com combinação simples. Embora sejam conceitos próximos e usados para calcular o total de agrupamentos possíveis em uma parte dos elementos do conjunto, para diferenciar problemas envolvendo-os, basta analisar se, no problema proposto, a ordem é importante ou não.

Quando a ordem é importante, o problema é resolvido por meio de um arranjo. O arranjo (A, B) é um agrupamento diferente de (B, A). Desse modo, problemas que envolvem filas, pódio, senhas ou qualquer outra situação em que, ao mudar-se a ordem dos elementos, forma-se agrupamentos diferentes, são resolvidos utilizando a fórmula do arranjo.

Quando a ordem não é importante, o problema é resolvido por meio de uma combinação. A combinação {A, B} é o mesmo agrupamento que {B, A}, ou seja, a ordem dos elementos é irrelevante. Problemas envolvendo sorteio, amostras de um conjunto, entre outros, em que a ordem não é relevante, são resolvidos por meio da fórmula da combinação. Para saber mais detalhes sobre essa outra forma de agrupamento, leia: Combinação simples.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - O xadrez surgiu no século VI, na Índia, alcançando outros países, como a China e a Pérsia, e se tornando um dos jogos de tabuleiro mais populares da atualidade, sendo prática de milhões de pessoas e existindo torneios e competições internacionais. O jogo é praticado sobre um tabuleiro quadrado e dividido em 64 casas, alternadamente brancas e pretas. De um lado, ficam as 16 peças brancas, e, de outro, um mesmo número de peças pretas. Cada jogador tem direito a um lance por vez. O objetivo da partida é dar o xeque-mate no adversário. Em uma competição internacional, os 15 melhores enxadristas são igualmente capazes de chegar à final e ser o vencedor. Sabendo disso, de quantas maneiras distintas o pódio dessa competição pode acontecer?

A) 32.760
B) 455
C) 3510
D) 2730
E) 210

Resolução

Alternativa D

Temos que n = 15 e k = 3.

Questão 2 – (Enem) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas por meio de:

A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
D) duas combinações.
E) dois arranjos.

Resolução

Alternativa A. Para saber qual o tipo de agrupamento a que o problema está se referindo, basta analisar se a ordem é importante ou não.

No primeiro agrupamento, serão sorteados 4 times entre os 12. Note que, nesse sorteio, a ordem não importa. Independentemente da ordem, os 4 times sorteados vão compor o Grupo A, logo, o primeiro agrupamento é uma combinação.

Já na segunda escolha, dos 4 times serão sorteados 2, porém o primeiro jogará em casa, logo, nesse caso, a ordem gera resultados diferentes, tratando-se, então, de um arranjo. 

 

Por Raul Rodrigues Oliveira
Professor de Matemática


Fonte: Brasil Escola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-simples.htm