Perímetro do quadrado

O perímetro do quadrado é a medida do contorno dessa figura geométrica. Lembre-se de que o quadrado é um polígono formado por quatro lados de mesma medida. Isso significa que seu perímetro será a soma entre quatro lados congruentes.

Considere a a medida do lado de um quadrado. Assim, o perímetro desse quadrado será \(a+a+a+a = 4a\).

Leia também: O que são quadriláteros?

Resumo sobre perímetro do quadrado

• O quadrado é um polígono com quatro lados congruentes e quatro ângulos retos.

• O perímetro de um quadrado é a soma dos quatro lados.

• Se o lado do quadrado mede a, o perímetro é dado por

\(P_{quadrado} =a+a+a+a=4a\)

• A diagonal de um quadrado de lado a é dada por

\(d_{quadrado} =a\sqrt2\)

• A área de um quadrado de lado a é dada por

\(A_{quadrado} =a⋅a=a^2\)

Como calcular o perímetro do quadrado?

Para calcular o perímetro do quadrado, basta conhecer a medida de seu lado a e substituir na soma dos lados da figura.

• Exemplo:

Qual o perímetro de um quadrado com 3 cm de lado?

\(P_{quadrado} =3+3+3+3 = 4 ⋅3 = 12\ cm\)

Perímetro do quadrado com lados desconhecidos

Mas e se o lado do quadrado for desconhecido, ou seja, se o valor de a não estiver expresso? Nesse caso, é necessário utilizar outras informações sobre o quadrado para determinar primeiro a medida do lado e depois calcular o perímetro.

Vejamos um exemplo de como calcular o perímetro do quadrado a partir da medida da diagonal. Lembre-se de que a diagonal do quadrado é o segmento com extremidades em vértices não consecutivos.

• Exemplo:

Determine o perímetro de um quadrado cuja diagonal mede 52 cm.

A diagonal de um quadrado de lado a é obtida pela expressão

\(d_{quadrado} =a\sqrt2\)

Portanto,

\(5\sqrt2 \ cm=a\sqrt2\)

\(a = 5\ cm\)

Logo, o perímetro desse quadrado é

\(P_{quadrado} = 4⋅5 = 20\ cm\)

Veja também: Polígonos inscritos em circunferências

Como calcular o perímetro do quadrado inscrito em uma circunferência?

Se um quadrado está inscrito em uma circunferência, então os quatro vértices do quadrado pertencem à circunferência. Observe a imagem abaixo, em que um quadrado de lado a está inscrito em uma circunferência de raio R.

Note que o raio R da circunferência corresponde à metade da diagonal do quadrado. Ou seja,

\(R=\frac{d}2\)

Como \(d_{quadrado} =a\sqrt2\), temos que

\(R=\frac{a\sqrt2}2\)

Assim, dado um quadrado inscrito em uma circunferência de raio R, podemos utilizar essa expressão para determinar o lado a. A partir disso, podemos calcular o perímetro do quadrado.

• Exemplo:

Qual o perímetro de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio \(R=4\sqrt2\ cm\)?

\(R=\frac{a\sqrt2}2\)

\(4\sqrt2=\frac{a\sqrt2}2\)

\(8\sqrt2=a\sqrt2\)

\(a=8\ cm\)

Portanto,

\(P_{quadrado} = 4⋅8 = 32\ cm\)

Como calcular a área do quadrado?

A área de um quadrado é a região que esse polígono ocupa no plano. Para calcular essa medida, basta multiplicar os comprimentos dos lados adjacentes:

\(A_{quadrado} =a⋅a=a^2\)

• Exemplo:

Qual a área de um quadrado com 7 cm de lado?

\(A_{quadrado} =a^2\)

\(A_{quadrado} =7^2=49\ cm^2\)

Saiba mais: Fórmulas para calcular a área de figuras planas

Exercícios resolvidos sobre perímetro do quadrado

Questão 1

Se a área de um quadrado é 81 cm², o perímetro é igual a

a) 9 cm

b) 18 cm

c) 27 cm

d) 36 cm

e) 45 cm

Resolução

\(A_{quadrado} =a^2\)

\(81=a^2\)

\(a=\sqrt{81}=9\ cm\)

Portanto,

\(P_{quadrado} = 4⋅9 = 36\ cm\)

Alternativa D.

Questão 2

Considere um quadrado inscrito em uma circunferência cujo diâmetro mede \(10\sqrt2\). O perímetro do quadrado, em cm, é igual a

a) 10

b) 12

c) 22

d) 30

e) 40

Resolução

O diâmetro de uma circunferência é o dobro do raio. Assim, o diâmetro corresponde à medida da diagonal do quadrado inscrito:

\(d_{quadrado} =10\sqrt2\)

\(a\sqrt2=10\sqrt2\)

\(a=10\ cm\)

Logo,

\(P_{quadrado} = 4⋅10 = 40\ cm\)

Alternativa E.

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática