Volume da esfera

O volume da esfera é o espaço ocupado por esse sólido geométrico. Por meio do raio da esfera — ou seja, da distância entre o centro e a superfície — é possível calcular seu volume.

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Resumo sobre o volume da esfera

• A esfera é um corpo redondo obtido pela revolução de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

• Todos os pontos de uma esfera estão a uma distância igual ou menor que r do centro da esfera.

• O volume da esfera depende da medida do raio.

• A fórmula do volume da esfera é \(V=\frac{4·π·r^3}3\)

Videoaula sobre o volume da esfera

O que é esfera?

Considere um ponto O no espaço e um segmento com medida r. A esfera é o sólido formado por todos os pontos que estão a uma distância igual ou inferior a r de O. Denominamos O de centro da esfera e r de raio da esfera.

A esfera também pode ser caracterizada como um sólido de revolução. Observe que a rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém seu diâmetro forma uma esfera:

Fórmula do volume da esfera

Para calcular o volume V de uma esfera, utilizamos a fórmula abaixo, em que r é raio da esfera:

\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)

É importante observar a unidade de medida do raio para determinar a unidade de medida do volume. Por exemplo, se r está indicado em cm, então o volume deve ser indicado em cm³.

Como calcular o volume da esfera?

O cálculo do volume da esfera depende apenas da medida do raio. Vejamos um exemplo.

Exemplo: Utilizando a aproximação π = 3, determine o volume de uma bola de basquete com 24 centímetros de diâmetro.

Como o diâmetro corresponde ao dobro do raio, r = 12 cm. Aplicando a fórmula do volume da esfera, temos que

\(V=\frac{4·π·12^3}3\)

\(V=\frac{4 · π·1728}3\)

\(V=6 912\ cm^3\)

Regiões da esfera

Considere uma esfera com centro O e raio r. Assim, podemos considerar três regiões dessa esfera:

• A região interna é formada pelos pontos cuja distância ao centro é inferior ao raio. Se P pertence à região interna da esfera, então

\(D(P,O)<r\)

• A região da superfície é formada pelos pontos cuja distância ao centro é igual ao raio. Se P pertence à região da superfície da esfera, então

\(D(P,O)=r\)

• A região externa é formada pelos pontos cuja distância ao centro é superior ao raio. Se P pertence à região interna da esfera, então

\(D(P,O)>r\)

Consequentemente, os pontos da região externa da esfera não pertencem à esfera.

Saiba mais: Calota esférica — sólido obtido quando uma esfera é interceptada por um plano

Outras fórmulas da esfera

A área da esfera — ou seja, a medida de sua superfície — também possui uma fórmula conhecida. Se r é o raio da esfera, sua área A é calculada por

\(A=4·π·r^2\)

Nesse caso, também é importante observar a unidade de medida do raio para indicar a unidade de medida da área. Por exemplo, se r está em cm, então A deve estar em cm².

Exercícios resolvidos sobre o volume da esfera

Questão 1

Qual o raio de uma esfera que possui 108 centímetros cúbicos de volume? (Utilize π = 3).

a) 2 cm

b) 3 cm

c) 4 cm

d) 5 cm

e) 6 cm

Resolução

Alternativa B.

Considere que r é o raio da esfera. Sabendo que V = 108, podemos utilizar a fórmula do volume da esfera:

\(V=\frac{4·π·r^3}3\)

\(108=\frac{4·3·r^3}3\)

\(108=4·r^3\)

\(r^3=27\)

\(r = 3\ cm\)

Questão 2

Um antigo reservatório esférico possui 20 metros de diâmetro e volume V₁. Deseja-se construir um segundo reservatório, de volume V₂, com o dobro do volume do reservatório antigo. Assim, V₂ é igual a

a) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)

b) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)

c) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)

d) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)

e) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)

Resolução

Alternativa E.

Como o diâmetro é dobro do raio, o reservatório antigo possui raio r = 10 metros. Portanto

\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)

\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)

\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)

Pelo enunciado, \(V_2=2·V_1\), ou seja

\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática