Volume do cilindro

Volume de um cilindro é o que determina a capacidade volumétrica desse sólido, sendo possível determinar o espaço que ele ocupa ou qual a sua capacidade máxima de armazenamento, como é o caso de embalagens e seus conteúdos.

O volume resulta do produto da área da base do cilindro pela sua altura e para ser calculado necessita das medidas do raio da base do cilindro e da altura desse sólido.

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Resumo sobre o volume do cilindro

• O cilindro é um corpo redondo constituído de duas bases paralelas em formato circular e segmentos de reta com extremidades nesses círculos.

• Sabendo o raio da base do cilindro e a altura dele, é possível calcular seu volume.

• O volume do cilindro de altura h e raio da base r é dado por: \(V=π⋅r^2⋅h\).

Videoaula sobre o volume do cilindro

O que é cilindro?

O cilindro é um sólido geométrico classificado como um corpo redondo. É formado por duas bases circulares congruentes (com mesma medida do raio) contidas em dois planos paralelos distintos e pela reunião de todos os segmentos de reta cujas extremidades pertencem aos círculos e são paralelos ao segmento que une os centros desses círculos.

Qual a fórmula do volume do cilindro?

A medida do volume do cilindro corresponde à capacidade máxima que esse sólido geométrico consegue comportar.

Para calcular o volume do cilindro é necessário conhecer ou possuir meios de determinar duas de suas medidas: o raio r do círculo de sua base e a altura h do cilindro, que representa a distância dos planos paralelos que contém cada uma das bases.

O volume do cilindro é o produto da área de sua base pela altura desse sólido. Sabendo que a base de um cilindro é um círculo, a fórmula para determinar seu volume pode ser escrita da seguinte forma:

Volume do cilindro = Área da base ⋅  Altura

V = Área do círculo ⋅  Altura

\(V = π⋅r^2⋅h\)

Como calcular o volume do cilindro?

Sabendo as medidas da altura do cilindro e do raio de sua base, é possível utilizar a fórmula do volume vista anteriormente para encontrar a capacidade desse cilindro.

Veja agora alguns exemplos de como utilizá-la.

• Exemplo: Calcule o volume de um cilindro cuja altura mede 10 cm e o diâmetro da base mede 4 cm. (Utilize π ≈ 3,14)

Neste caso, o problema fornece a altura e diâmetro da base do cilindro. Lembrando que o raio de uma circunferência equivale à metade do diâmetro, conclui-se que o raio da base do cilindro mede 2 cm.

Por fim, com os dados encontrados, basta substituí-los na fórmula:

\(V = π⋅r^2⋅h\)

\( V = π⋅(2)^2⋅10\)

\( V ≈ 3,14⋅4⋅10\)

\(V ≈ 125,6\ cm^3\)

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Exercícios resolvidos sobre o volume do cilindro

Questão 1

(Enem 2020) Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d’água do tipo A.

Se R  denota o raio da caixa-d’água do tipo A, então o raio da caixa-d’água do tipo B é

a) \(\frac{R}2\)

b) 2R

c) 4R

d) 5R

e) 16R

Resolução

Para calcular o volume de um cilindro, precisamos saber sua altura e o raio de sua base. Neste caso, a caixa-d’água A possui raio de medida R, e vamos denotar sua altura por h_A. Já a caixa-d’água B possui raio que vamos denotar por r e altura igual a 25% da altura da caixa A, ou seja,

Altura da caixa-d’água \(B = h_B=\frac{25}{100}⋅h_A=\frac{1}4 h_A\)

Além disso, o volume das caixas é o mesmo, ou seja, V_A = V_B.

Com esses dados, podemos utilizar a fórmula de volume do cilindro e igualar esses dois volumes:

\(V_A=V_B\)

\(π⋅R^2⋅h_A=π⋅r^2⋅h_B\)

\(R^2⋅h_A=r^2⋅\frac{1}4 h_A\)

\(R^2=r^2⋅\frac{1}4\)

\(r^2=4⋅R^2\)

\(r=2⋅R\)

A alternativa correta é a alternativa b.

Questão 2

(Enem 2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, em uma reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna, a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π.

Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?

a) 0,5

b) 1,0

c) 2,0

d) 3,5

e) 8,0

Resolução

Para resolver essa questão, é necessário saber a medida do raio da antiga cisterna e da nova. Como o diâmetro da antiga cisterna é de 2 m, então o raio dela é metade disso, ou seja, a antiga cisterna possui 1 m de raio.

Sobre a nova cisterna, o problema indica o valor de sua altura (que é o mesmo da antiga, ou seja, 3 m) e fornece o seu volume, de 81 m³.

Assim, pela fórmula do volume, isolando a medida do raio r :

\(V = π⋅r^2⋅h\)

\(81 = 3,0⋅r^2⋅3\)

\(\frac{81}9 = r^2\)

\(r^2=9\)

\(r=3\ m\)

Fazendo a diferença entre o raio da nova cisterna e da antiga, chega-se em \(3-1=2\) metros.

A alternativa correta é a alternativa c.

Fontes

ALMEIDA, Célio Pinto de. Geometria espacial. 1. ed. Rio de Janeiro: G. Ermakoff, 2018.

DOLCE, Osvaldo; NICOLAU, José. Fundamentos de matemática elementar 10 – Geometria espacial. 5. ed. Santos: Atual, 1993.

Por Lenon Ávila
Professor de Matemática