Raiz cúbica

A raiz cúbica é a operação de radiciação que possui índice igual a 3. Calcular a raiz cúbica de um número n é encontrar qual número elevado a 3 resulta em n, isto é, \(\sqrt[3]{a}=b\rightarrow b^3=a\). Sendo assim, a raiz cúbica é um caso particular de radiciação.

Saiba mais: Raiz quadrada — como calcular?

Representação da raiz cúbica de um número

Conhecemos como raiz cúbica a operação de radiciação de um número n quando o índice é igual a 3. De modo geral, a raiz cúbica de n é representada por:

\(\sqrt[3]{n}=b\)

• 3 → índice da raiz cúbica

• n → radicando

• b → raiz

Como calcular a raiz cúbica?

Sabemos que a raiz cúbica é uma radiciação com índice igual 3, então calcular a raiz cúbica de um número n é procurar qual número multiplicado por ele mesmo três vezes é igual a n. Ou seja, procuramos um número b tal que b³ = n. Para calcular a raiz cúbica de um número grande, podemos realizar a fatoração do número e agrupar as fatorações como potências de expoente igual a 3 para que seja possível simplificar a raiz cúbica. 

• Exemplo 1:

Calcule \(\sqrt[3]{8}\).

Resolução:

Sabemos que \(\sqrt[3]{8}=2\), pois 2³ = 8.

• Exemplo 2:

Calcule: \(\sqrt[3]{1728}.\)

Resolução:

Para calcular a raiz cúbica de 1728, primeiramente faremos a fatoração de 1728.

Então, temos que:

\(\sqrt[3]{1728}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot3^3}\)

\(\sqrt[3]{1728}=2\cdot2\cdot3\)

\(\sqrt[3]{1728}=12\)

• Exemplo 3:

Calcule o valor de \(\sqrt[3]{42875}\).

Resolução:

Para encontrar o valor da raiz cúbica de 42875, é necessário fatorar esse número:

Então, temos que:

\(\sqrt[3]{42875}=\sqrt[3]{5^3\cdot7^3}\)

\(\sqrt[3]{42875}=5\cdot7\)

\(\sqrt[3]{42875}=35\)

Lista com as raízes cúbicas exatas

• \( \sqrt[3]{0}=0\)

• \( \sqrt[3]{1}=1\)

• \( \sqrt[3]{8}=2\)

• \( \sqrt[3]{27}=3\)

• \( \sqrt[3]{64}=4\)

• \( \sqrt[3]{125}=5\)

• \( \sqrt[3]{216}=6\)

• \( \sqrt[3]{343}=7\)

• \( \sqrt[3]{512}=8\)

• \( \sqrt[3]{729}=9\)

• \( \sqrt[3]{1000}=10\)

• \( \sqrt[3]{1331}=11\)

• \( \sqrt[3]{1728}=12\)

• \( \sqrt[3]{2197}=13\)

• \( \sqrt[3]{2744}=14\)

• \( \sqrt[3]{3375}=15\)

• \( \sqrt[3]{4096}=16\)

• \( \sqrt[3]{4913}=17\)

• \( \sqrt[3]{5832}=18\)

• \( \sqrt[3]{6859}=19\)

• \( \sqrt[3]{8000}=20\)

• \( \sqrt[3]{9281}=21\)

• \( \sqrt[3]{10648}=22\)

• \( \sqrt[3]{12167}=23\)

• \( \sqrt[3]{13824}=24\)

• \( \sqrt[3]{15625}=25\)

• \( \sqrt[3]{125000}=50\)

• \( \sqrt[3]{1000000}=100\)

• \( \sqrt[3]{8000000}=200\)

• \( \sqrt[3]{27000000}=300\)

• \( \sqrt[3]{64000000}=400\)

• \( \sqrt[3]{125000000}=500\)

• \( \sqrt[3]{1000000000}=1000\)

Importante: O número que possui raiz cúbica exata é conhecido como um cubo perfeito. Logo, os cubos perfeitos são 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216 etc.

Cálculo da raiz cúbica por aproximação

Quando a raiz cúbica não é exata, podemos utilizar a aproximação para encontrar o valor decimal que representa a raiz. Para isso, é necessário descobrir entre quais cubos perfeitos o número se encontra. Determinamos, então, o intervalo em que a raiz cúbica está, e, por fim, descobriremos a parte decimal por tentativa, analisando a variabilidade da parte decimal.

• Exemplo:

Calcule \(\sqrt[3]{50}\).

Resolução:

Inicialmente, encontraremos entre quais cubos perfeitos o número 50 se encontra:

27 < 50 < 64

Calculando a raiz cúbica dos três números:

\(\sqrt[3]{27}<\sqrt[3]{50}<\sqrt[3]{64}\)

\(3<\sqrt[3]{50}<4\)

A parte inteira da raiz cúbica de 50 é 3 e está entre 3,1 e 3,9. Logo, analisaremos o cubo de cada um desses números decimais, até passar de 50.

3,1³ = 29,791
3,2³ = 32,768
3,3³ = 35,937
3,4³ = 39,304
3,5³ = 42,875
3,6³ = 46,656
3,7³ = 50,653

Então, temos que:

\(\sqrt[3]{50}\approx3,6\) por falta.

\(\sqrt[3]{50}\approx3,7\) por excesso.

Saiba também: Cálculo de raízes não exatas — como fazer?

Exercícios resolvidos sobre raiz cúbica

(IBFC 2016) O resultado da raiz cúbica do número 4 ao quadrado é um número entre:

A) 1 e 2

B) 3 e 4

C) 2 e 3

D) 1,5 e 2,3

Resolução:

Alternativa C

Sabemos que 4² = 16, então queremos calcular \(\sqrt[3]{16}\). Os cubos perfeitos que conhecemos próximos a 16 são 8 e 27:

\(8<16<27\)

\(\sqrt[3]{8}<\sqrt[3]{16}<\sqrt[3]{27}\)

\(2<\sqrt[3]{16}<3\)

Assim, a raiz cúbica de 4 ao quadrado está entre 2 e 3.

Questão 2

A raiz cúbica de 17576 é igual a:

A) 8

B) 14

C) 16

D) 24

E) 26

Resolução:

Alternativa E

Fatorando 17576, temos que:

Portanto:

\(\sqrt[3]{17576}=\sqrt[3]{2^3\cdot{13}^3}\)

\(\sqrt[3]{17576}=2\cdot13\)

\(\sqrt[3]{17576}=26\)

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática