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Teorema de Pitágoras

Matemática

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O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira:

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 

O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador.

Saiba também: 4 erros mais cometidos na trigonometria básica

Fórmula do teorema de Pitágoras

Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a.

Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.

O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir:

Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

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Demonstração do teorema de Pitágoras

Vamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura:

O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD.

AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc  + c2

O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH.

AEFGH = a2

Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes:

O terceiro passo é calcular a área desses triângulos:

ATriângulo = b·c
                      2

O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então:

AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo

Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter:

a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc
                                    2 

a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc

a2 =  b2  + c2

Mapa Mental: Teorema de Pitágoras

Mapa Mental: Pitágoras

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Triângulo pitagórico

Um triângulo retângulo qualquer é chamado de triângulo pitagórico caso a medida de seus lados satisfaça o teorema de Pitágoras.

Exemplos:

O triângulo acima é pitagórico, pois:

52 = 32 + 42

Já o triângulo a seguir não é pitagórico. Veja

262 ≠ 242 +72

Leia também: Aplicações das leis trigonométricas de um triângulo: seno e cosseno

Teorema de Pitágoras e os números irracionais

O teorema de Pitágoras trouxe consigo uma nova descoberta. Ao construir um triângulo retângulo em que os catetos são iguais a 1, os matemáticos, na época, depararam-se com um grande desafio, pois, ao encontrar o valor da hipotenusa, um número desconhecido apareceu. Veja:

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

O número encontrado pelos matemáticos da época hoje é chamado de irracional.

Leia também: Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo

Exercícios resolvidos

Questão 1. Determine o valor de x no triângulo a seguir.

Resolução:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos o seguinte:

132 = 122 + x2

Resolvendo as potências e isolando a incógnita x, temos:

x2  = 25

x =5

Questão 2. Determine a medida c dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm.

Resolução: 

Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que:

202 = c2 + c2

2c2 = 400

c2 = 200

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_phv%20c%20%3D%2010%20%5Csqrt%7B2%7D

Assim, as medidas dos catetos do triângulo medem, respectivamente:

 

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

LUIZ, Robson. "Teorema de Pitágoras"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-pitagoras.htm. Acesso em 20 de novembro de 2019.

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Lista de Exercícios
Questão 1

Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.

Questão 2

Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura. 

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