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O que é o teorema de Pitágoras?

O que é Matemática?

O que é o teorema de Pitágoras? É uma das relações que podem ser feitas entre os lados de um triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras: expressão que relaciona os lados de um triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: expressão que relaciona os lados de um triângulo retângulo
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O teorema de Pitágoras é uma expressão matemática que relaciona os lados de um triângulo retângulo, conhecidos como hipotenusa e catetos. Esse teorema não é válido para triângulos acutângulos ou obtusângulos, apenas para os retângulos.

Para que um triângulo seja considerado retângulo, basta que um de seus ângulos tenha medida igual a 90°, ou seja, que o triângulo tenha um ângulo reto. O lado oposto a esse ângulo é o maior lado do triângulo retângulo e é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados menores são chamados de catetos, como mostra a figura a seguir:

Lados de um triângulo retângulo

Expressão matemática: Teorema de Pitágoras

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Essa expressão também pode ser representada na forma de equação. Para isso, faça hipotenusa = a, cateto 1 = b e cateto 2 = c. Nessas condições, teremos:

a2 = b2 + c2

Essa é uma fórmula válida para o seguinte triângulo:

Triângulo retângulo

1º Exemplo – Calcule a medida da hipotenusa do triângulo retângulo presente na figura a seguir.

Teorema de Pitágoras: exemplo 01

Solução:

Observe que 3 cm e 5 cm são as medidas dos catetos do triângulo acima. A outra medida refere-se ao lado oposto ao ângulo reto, portanto, a hipotenusa. Usando o teorema de Pitágoras, teremos:

a2 = b2 + c2

a2 = 42 + 32

a2 = 16 + 9

a2 = 25

a = √25

a = 5

A hipotenusa desse triângulo mede 5 centímetros.

2º Exemplo – O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo mede 15 centímetros e um dos outros dois lados mede 12 centímetros. Calcule a medida do terceiro lado.

Solução:

O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os outros dois são catetos. Representando o cateto que falta pela letra b, podemos usar o teorema de Pitágoras para descobrir a terceira medida. Basta lembrar que ela também é um cateto. Sendo assim, teremos:

a2 = b2 + c2

152 = b2 + 122

Observe que a medida da hipotenusa foi colocada no lugar da letra a, pois essa letra representa essa medida. Resolvendo a equação, encontraremos o valor de b:

225 = b2 + 144

225 – 144 = b2

81 = b2

b2 = 81

b = √81

b = 9

O terceiro lado mede 9 centímetros.

3º Exemplo - (Enem 2006) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

Teorema de Pitágoras: exemplo 3

a) 1,8 m.

b) 1,9 m.

c) 2,0 m.

d) 2,1 m.

e) 2,2 m.

Solução:

Observe o seguinte triângulo retângulo sobre o corrimão da imagem do exercício.

Teorema de Pitágoras: Solução do exemplo 3

Perceba que o comprimento do corrimão é igual à soma 30 + a + 30 e que “a” é a medida da hipotenusa do triângulo colocado sobre a imagem. Além disso, note que b = 90 e que c = 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 120. Assim, para descobrir a medida de a, faremos:

a2 = b2 + c2

a2 = 902 + 1202

a2 = 8100 + 14400

a2 = 22500

a = √22500

a = 150 centímetros.

A medida do corrimão é 30 + 150 + 30 = 210 cm ou 2,1 m.

Gabarito: letra D.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que é o teorema de Pitágoras?"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-teorema-de-pitagoras.htm>. Acesso em 24 de outubro de 2017.

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