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Sistema de Equações do 1° e do 2° Grau

Matemática

Um sistema de equações do 1° e do 2° grau pode ser resolvido através dos métodos da substituição ou da adição, podendo gerar até quatro soluções diferentes.
Quer aprender a resolver um sistema que envolva equações do 1° e do 2° grau? Então confira nossas dicas!
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Os sistemas de equações nada mais são do que estratégias que nos permitem resolver problemas e situações que envolvem mais de uma variável e pelo menos duas equações. Se as equações presentes no sistema envolverem apenas a adição e a subtração das incógnitas, dizemos que se trata de um sistema de equações do 1° grau. Podemos resolver esse sistema de duas formas, através da representação gráfica ou algebricamente. Na forma algébrica, dispomos de duas alternativas, o método da adição ou da substituição.

No caso de uma multiplicação entre as incógnitas ou, simplesmente, de uma delas aparecer como uma potência de expoente 2, dizemos que o sistema envolve também equações de 2° grau. Para resolver um sistema desse tipo, as estratégias são as mesmas citadas anteriormente, mas podem haver mais soluções nesse caso.

Vejamos alguns exemplos de resolução de sistemas de equações do 1° e do 2° grau:

1° Exemplo: 

Observe que, nesse exemplo, a equação x·y = 15 fornece um produto entre as incógnitas x e y, portanto, essa é uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, vamos utilizar o método da substituição. Na segunda equação, isolaremos x:

2x – 4y = – 14
2x = 4y – 14
x = 4y – 14
     2
x = 2y – 7

Agora substituiremos x = 2y – 7 na primeira equação:

x·y = 15
(2y – 7)·y = 15
2y² – 7y – 15 = 0

Para encontrar os possíveis valores de y, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

y = – b ± √Δ​
      2.a

y = – (– 7) ± √169
       2.2

y = 7 ± 13
     4

y1 = 7 + 13
       4
y1 = 20
       4
y1 = 5

y2 = 7 – 13
      4
y2 = – 6
       4
y2 = – 3
       
2

Agora podemos substituir os valores encontrados para y em x·y = 15 com o objetivo de determinar os valores de x:

x1 · y1 = 15
x1 · 5 = 15
x1 = 15
       5
x1 = 3

x2 · y2 = 15
x2 · (– 3) = 15

x2 = 15 . (– 2)
              3
x2 = – 10

Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (3, 5) e (– 10, – 3/2).

2° Exemplo: 

Para resolver esse sistema, utilizaremos o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por – 2. Nosso sistema ficará da seguinte forma:

(– 2x² + 2x²) + (– 4y² – 3y²) = (– 178 + 150)
0x² – 7y² = – 28
7y² = 28
y² = 28
       7
y = ±√4
y1 = + 2
y2 = – 2

Agora nós podemos substituir os valores encontrados para y na primeira equação com o objetivo de obter os valores de x:

x² + 2y1² = 89
x² + 2.(2)² = 89
x² + 8 = 89
x² = 81
x = ±√81
x1 = + 9
x2 = – 9
x² + 2y2² = 89
x² + 2.(– 2)² = 89
x² + 8 = 89
x² = 81
x = ±√81
x3 = + 9
x4 = – 9

Podemos afirmar que a equação possui quatro soluções: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) e (– 9, – 2).

3° Exemplo: 

Na resolução desse sistema de equações, utilizaremos o método da substituição. Na segunda equação, vamos isolar x:

2x – 3y = 2
2x = 3y + 2
x = 3y + 2
      2
x = 3y + 1
2

Substituiremos x na primeira equação:

x² + 2y² = 1
(3y/2 + 1)² + 2y² = 1
9y² + 3y + 1 + 2y² = 1
4                           

Multiplicaremos toda a equação por 4:

9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4
17y² + 12 y = 0

Para encontrar os possíveis valores de y, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
y = – b ± √Δ​
     2.a
y = – 12 ± √144
      2.17
y = – 12 ± 12
      34

Y1 = – 12 + 12
         34
y1 = 0
      34
y1 = 0
y2 = – 12 – 12
      34
y2 = – 24
          34
y2 = – 12
         17

Substituindo os valores encontrados para y em 2x – 3y = 2, podemos determinar os valores de x:

2x – 3y1 = 2
2x – 3·0 = 2
2x – 0 = 2
x = 2
2
x1 = 1
2x – 3y2 = 2
2x – 3·(– 12/17)= 2
2x + 36 = 2
 17
2x = 2 – 36
             17
2x = – 2
          17
x2 = – 1
         17

Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (1, 0) e (– 1/17, – 12/17).


Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Sistema de Equações do 1° e do 2° Grau"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-1-o-2-o-grau.htm>. Acesso em 23 de agosto de 2017.

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