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Quadriláteros

Matemática

Quadriláteros são figuras geométricas planas que possuem quatro lados e são classificados como paralelogramos, trapézios ou nenhum dos dois.
Quadriláteros são figuras geométricas planas que possuem quatro lados
Quadriláteros são figuras geométricas planas que possuem quatro lados
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Quadriláteros são figuras geométricas planas, poligonais e formadas por quatro lados. Em outras palavras, essa definição implica as seguintes características:

  • Quadriláteros são figuras definidas em um plano, por isso, não existem pontos dessa figura fora do plano (no que chamamos de espaço);

  • São formados por segmentos de reta que se encontram em suas extremidades, por isso, são figuras fechadas;

  • Possuem três classificações básicas:

Outros: Não possuem lados paralelos;
Trapézios: Possuem um par de lados paralelos;
Paralelogramos: Possuem dois pares de lados paralelos.

O paralelismo entre os lados de um quadrilátero é perceptível quando se observa seus lados opostos. Lados que possuem ponto em comum não podem ser paralelos justamente por possuírem ponto em comum.

Exemplo de trapézio, paralelogramo e “outros”
Exemplo de trapézio, paralelogramo e “outros”

Paralelogramos

Para ser paralelogramo, é necessário que o polígono seja um quadrilátero e que seus lados opostos sejam paralelos. Essa definição implica uma série de resultados, chamados aqui de propriedades. Elas são válidas para todo paralelogramo e serão discutidas a seguir:

1 – ângulos opostos são congruentes;

2 – ângulos não opostos são suplementares;

3 – Lados opostos são congruentes;

4 – As diagonais do paralelogramo encontram-se no seu ponto médio.

Ilustração das propriedades do paralelogramo
Ilustração das propriedades do paralelogramo

OBS.: Devemos ressaltar que, se um quadrilátero possui lados opostos paralelos e congruentes, então ele é um paralelogramo.

A seguir discutiremos propriedades de alguns paralelogramos específicos.

Retângulos

Os retângulos são quadriláteros cujos ângulos medem 90°. Um resultado direto disso é que seus lados opostos são paralelos. Para ver isso, basta considerar qualquer um de seus lados como uma reta transversal e observar que ela corta outros dois lados formando o mesmo ângulo: 90°.

Todo retângulo, portanto, é também um paralelogramo. Entretanto, nem todo paralelogramo é um retângulo. Assim, para o retângulo, valem as quatro propriedades dos paralelogramos citadas acima, além da seguinte:

Todo retângulo possui diagonais congruentes.

O resultado mais direto dessa propriedade é o seguinte: Se um paralelogramo possui diagonais congruentes, então ele é um retângulo.

Losangos

Os losangos são paralelogramos que possuem os quatro lados congruentes. Desse modo, todo losango é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um losango.

Esse quadrilátero possui as mesmas propriedades dos paralelogramos, além da seguinte:

As diagonais de um losango formam um ângulo reto.

Assim, se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango.

Quadrado

Um quadrado é um paralelogramo que possui os quatro lados iguais e, além disso, possui ângulos retos. Dessa maneira, um quadrado é, ao mesmo tempo, um losango e um retângulo. Entretanto, nem todo losango é quadrado e nem todo retângulo é quadrado.

A propriedade específica do quadrado é a seguinte:

As diagonais de um quadrado formam ângulos retos e são congruentes.

Assim, se um paralelogramo possui diagonais que formam um ângulo reto e que são congruentes, então esse paralelogramo é um quadrado.

Observe que o critério acima é exatamente uma junção dos discutidos para o losango e para o retângulo.

Trapézios

São os quadriláteros que possuem apenas um par de lados opostos paralelos.
Esses lados são chamados de bases do trapézio. Os trapézios não são paralelogramos, por isso, as propriedades dos paralelogramos não são válidas para os trapézios.

Existem três classes de trapézios: os trapézios quaisquer, os trapézios retângulos e os trapézios isósceles.

A primeira classe diz respeito àqueles que não são retângulos nem isósceles. Já os trapézios retângulos:

Trapézios retângulos

São trapézios que possuem dois ângulos internos com medida de 90°.

Trapézios isósceles

São os trapézios em que os lados que não são paralelos possuem a mesma medida (são congruentes).

É possível notar que um trapézio isósceles pode resultar do corte feito em um triângulo isósceles, desde que esse corte descreva uma reta paralela à base desse triângulo. Quando isso é feito, o resultado é outro triângulo isósceles semelhante ao primeiro e um trapézio isósceles.

As propriedades específicas para o trapézio isósceles são as seguintes:

1 – Os ângulos da base maior do trapézio isósceles são iguais;

2 – As diagonais do trapézio isósceles são congruentes.

Quadriláteros convexos

Existem quadriláteros convexos e não convexos. O primeiro grupo é formado por todos aqueles em que a reta que contém qualquer um de seus lados não intercepta o outro lado. Se existe pelo menos um lado que não possui essa característica, então, ele é chamado de não convexo ou côncavo.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Quadriláteros"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/quadrilateros.htm>. Acesso em 18 de outubro de 2017.

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