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Propriedades da multiplicação que facilitam o cálculo mental

Matemática

A distributividade é uma das propriedades da multiplicação que facilitam o cálculo mental por meio da decomposição dos fatores em parcelas de uma soma.
Algumas propriedades da multiplicação podem facilitar o cálculo mental
Algumas propriedades da multiplicação podem facilitar o cálculo mental
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A multiplicação é uma operação matemática básica que apresenta propriedades que podem facilitar o trabalho de multiplicar dois ou mais números. Essas propriedades são: comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, existência de elemento inverso e distributividade. Vamos conhecê-las?

Comutatividade

A ordem dos fatores não altera o produto. Em outras palavras, se a e b forem números reais, então, vale a igualdade:

a·b = b·a

Assim, tanto faz multiplicar 7·3 ou 3·7, por exemplo. O resultado sempre será 21.

Associatividade

Está relacionada com multiplicações com três ou mais fatores. Matematicamente, sejam a, b e c números reais, então, vale a igualdade:

(a·b·)c = a·(b·c)

Assim, tanto faz multiplicar primeiro os dois primeiros fatores ou os dois últimos. O resultado será o mesmo. Observe o exemplo abaixo:

(2·3)·4 = 2·(3·4)

6·4 = 2·12

24 = 24

Unindo as duas propriedades acima, podemos realizar qualquer cadeia de multiplicações em qualquer ordem que quisermos.

Multiplicação envolvendo potências de 10

Quando um dos fatores é uma potência de base 10, podemos fazer a multiplicação de forma simples. O resultado da multiplicação será composto da seguinte maneira: a primeira parte do resultado é exatamente o outro fator e a segunda parte é composta pela mesma quantidade de zeros que a potência de 10 possui. Por exemplo:

258·1000000

Observe que 1000000 possui 6 zeros. O resultado, portanto, será:

258·1000000 = 258000000

Multiplicação envolvendo múltiplos de 10

Os múltiplos de 10 são números terminados em zero. Por exemplo: 1200 é um múltiplo de 10. Na realidade, essa propriedade é adequada para múltiplos de potências de base 10. O número 258000000 é múltiplo de 1000000, que é uma potência de base 10 (a saber, 106).

Quando um dos fatores for um múltiplo de 10, separe os zeros que aparecem ao final desse número (jamais separe os zeros que aparecem entre outros algarismos). Multiplique os fatores sem esses zeros e adicione-os ao final do resultado. Observe o exemplo:

202000·8000

202000·8000

202·8 = 1616000000

Observe que a quantidade de zeros do resultado é a mesma obtida nos fatores.

Distributividade

O produto da soma é igual à soma do produto. Essa é a máxima usada para lembrar-se dessa propriedade. Matematicamente, ela é expressa da seguinte maneira: Sejam a, b e k números reais, vale:

k(a + b) = ka + kb

Essa propriedade também é conhecida como “chuveirinho”.

Multiplicação por meio das propriedades

As duas primeiras propriedades garantem que, em uma expressão em que só existam multiplicações, elas podem ser realizadas em qualquer ordem. As duas seguintes ensinam um método de multiplicar fatores que ultrapassam a tabuada de 10. A última, unida a todas as outras, garante que um número pode ser decomposto em parcelas de uma soma. Cada parcela pode ser multiplicada separadamente e os resultados devem ser somados ao final.

Essa será a técnica usada para facilitar as multiplicações. Para tanto, basta encontrar uma decomposição em parcelas que realmente facilitem o trabalho. Sugerimos parcelas com resultados conhecidos ou mais fácies. Por exemplo:

8·12

Sabemos que 8·10 = 80 e que 8·2 = 16 (observe que 10 + 2 = 12), mas não sabemos o resultado de 8·12. Para encontrá-lo, basta calcular 80 + 16 = 96 e saberemos que 8·12 = 96. Observe a mesma decomposição feita linha a linha, como estamos acostumados:

8·12 =

8·(10 + 2) =

8·10 + 8·2 =

80 + 16 =

96

Também poderíamos ter decomposto o número 8. Contudo, a tabuada de 12 não é tão conhecida como a de 8. Caso esse procedimento fosse o escolhido, poderíamos ter encontrado os seguintes resultados:

8·12 =

(5 + 3)·12 =

5·12 + 3·12 =

60 + 36 =

96

Exemplo 2

Agora tentaremos calcular 420·1200.

Primeiramente, separe os zeros após o último algarismo não nulo de cada fator, obtendo a seguinte multiplicação:

42·12

Três zeros devem ser guardados para serem colocados apenas no resultado final. Observe que o produto acima pode ser reescrito da seguinte maneira:

(40 + 2)·12 =

40·12 + 2·12 =

Note que não sabemos o resultado da multiplicação de 40 por 12, mas que 4·12 = 48. Nesse caso, 40·12 = 480. Para ter certeza, usamos a propriedade de multiplicação por múltiplos de 10 descrita anteriormente. Como 2·12 = 24, podemos escrever:

480 + 24 = 504

Logo, 420·1200 = 504000.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Propriedades da multiplicação que facilitam o cálculo mental"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-multiplicacao-que-facilitam-calculo-mental.htm>. Acesso em 24 de novembro de 2017.

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