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Polinômio unitário

Matemática

O polinômio é formado por monômios, cada monômio possui coeficiente e parte literal. No polinômio unitário, o coeficiente dominante será o número um.
O polinômio unitário é dado pelo maior grau dos monômios que formam o polinômio
O polinômio unitário é dado pelo maior grau dos monômios que formam o polinômio
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A equação algébrica do tipo polinomial é expressada da seguinte forma:

P(x) = anxn + . . . + a2x2 + a1x1 + a0

ou seja

P(x) = 2x5 + 4x4 + 6x3 + 7x2 + 2x + 9

Todo o polinômio possui coeficiente e parte literal, sendo o coeficiente o número e a parte literal a variável.

O polinômio é constituído por monômios e cada monômio é formado pelo produto de um número com uma variável. Veja a seguir a estrutura de um monômio:

Monômio

a1. x1 → a1 = coeficiente

x1 = parte literal

Todo polinômio possui grau, o grau de um polinômio em relação à variável será o maior valor do expoente referente à parte literal. Já coeficiente dominante é o valor numérico que acompanha a parte literal de maior grau.

Para identificarmos o grau de uma variável podemos utilizar dois métodos:

O primeiro considera o grau geral do polinômio e o segundo considera o grau em relação a uma variável.

Para obtermos o grau geral do polinômio, devemos considerar que cada monômio do polinômio possui o seu grau, que é dado por meio da soma dos expoentes dos termos que compõem a parte literal. Veja o exemplo:

2xy + 1x3 + 1xy4 → Polinômio

2xy → Monômio de grau 2, pois a variável x possui o expoente 1 e a variável y possui expoente 1, ao somar os expoentes referentes às variáveis, temos que o grau desse monômio é 2.

1x3 → Monômio de grau 3, pois a variável x possui o expoente 3.

1xy4 → Monômio de grau 5, pois a variável x possui grau 1 e a variável y possui grau 4, ao somar os expoentes referentes às variáveis temos que o grau desse monômio é 5.

O grau geral do polinômio será dado pelo monômio de maior grau, logo o grau do polinômio 2xy + 1x3 + 1xy4 é 5.

Já para obtermos o grau de um polinômio em relação a uma variável, devemos considerar que o grau será obtido por meio do maior expoente da variável que será fixada. Suponhamos que essa variável seja o termo x do polinômio 2xy + 1x3 + 1xy4, temos que:

2xy → monômio de grau 1, pois o grau desse termo algébrico está sendo determinado pelo expoente da variável x.

1x3 → Monômio de grau 3, pois o grau desse termo algébrico está sendo determinado pelo expoente da variável x.

xy4 → Monômio de grau 1, pois o grau desse termo algébrico está sendo determinado pelo expoente da variável x.

O grau do polinômio 2xy + 1x3 + 1xy4 é 3, pois é o maior grau do polinômio em relação a variável x.

Observe o exemplo abaixo para poder entender como obtemos o grau de um polinômio através desses dois procedimentos:

Exemplo 1

Dado o polinômio 5x8 + 10y3x6 + 2xy. Qual o grau do polinômio relacionado à variável x e qual o seu coeficiente dominante? Qual o grau do polinômio em relação à variável y e qual o seu coeficiente dominante? Qual o grau geral do polinômio?

Resposta

Primeiro passo: Você deverá encontrar o grau do polinômio relacionado à variável x. Temos então que aplicar o segundo caso para encontrar o grau do polinômio 5x8 + 10y3x6 + 2xy.

Primeiramente devemos considerar cada monômio separadamente e avaliar o grau por meio da variável x.

5x8 → Em relação à variável x, o grau desse monômio é 8.

10y3x6 Em relação à variável x, o grau desse monômio é 6

2xy → Em relação a variável x, o grau desse monômio é 1.

Temos então que o maior grau do polinômio 5x8 + 10y3x6 + 2xy, relacionado à variável x, é 8 e seu coeficiente dominante é 5.

Segundo passo: Agora vamos encontrar o grau do polinômio 5x8 + 10y3x6 + 2xy, em relação à variável y. Segue a mesma estrutura do passo anterior para identificação, só que agora devemos considerar em relação à variável y.

5x8 = 5x8y0 Em relação à variável y, o grau desse monômio é 0.

10y3x6 → Em relação à variável y, o grau é 3.

2xy → Em relação à variável y, o grau é 1.

Temos então que o grau do polinômio relacionado à variável y é 3 e seu coeficiente dominante é 10.

Terceiro passo: Devemos agora identificar o grau geral do polinômio 5x8 + 10y3x6 + 2x, para isso consideramos cada monômio separadamente e fazemos a adição dos expoentes referentes à parte literal. O grau do polinômio será o grau do maior monômio.

5x8 = 5x8y0 → 8 + 0 = 8. O grau desse monômio é 8.

10y3x6 → 3 + 6 = 9. O grau desse monômio é 9.

2xy → 1 + 1 = 2. O grau desse monômio é 2.

Temos então que o grau desse polinômio é 8.

O conceito referente a grau de um polinômio é fundamental para podermos compreender o que é um Polinômio unitário.

Por definição, temos que: O polinômio unitário acontece quando o coeficiente que acompanha a parte literal de maior grau em relação à uma variável é 1. Esse grau é dado pelo monômio anxn, onde an é o coeficiente dominante que sempre será igual a 1 e o grau do polinômio é dado por xn, que será sempre o maior expoente do polinômio em relação à uma variável.

Polinômio Unitário

P(x) = 1xn + . . . + a2x2 + a1x1 + a0

Sendo: an =1 e xn é a parte literal que tem o maior grau do polinômio.

Obs. Em todo polinômio unitário sempre avaliamos o grau em relação à uma variável.

Exemplo 2

Identifique o grau dos polinômios unitários abaixo:

a) P(x) = x3 + 2x2 + 1 b) P(y) = 2y6 + y5 – 16 c) P(z) = z9

Resposta

a) P(x) = 1x3 + 2x2 + 1. O grau desse polinômio deve ser obtido em relação à variável x. O maior grau em relação a essa variável é 3 e seu coeficiente é 1, tido como coeficiente dominante. Logo, o polinômio P(x) é unitário.

b) P(y) = 2y6 + y5 – 16. O grau desse polinômio em relação à variável y é 6. O coeficiente que acompanha a parte literal referente a esse grau é 2, sendo esse coeficiente diferente de 1, sendo assim o polinômio não é considerado unitário.

c) P(z) = z9. O grau é 9 e o coeficiente em relação ao maior grau da variável z é 1. Sendo assim, esse polinômio é unitário.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Naysa Crystine Nogueira. "Polinômio unitário"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/polinomio-unitario.htm>. Acesso em 18 de dezembro de 2017.

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