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Múltiplos e divisores

Matemática

Múltiplos são todos os resultados da multiplicação entre um número e qualquer número natural. Divisores são os números usados nessa multiplicação.
Os conceitos de múltiplo e divisor são muito usados em problemas matemáticos
Os conceitos de múltiplo e divisor são muito usados em problemas matemáticos
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Dizemos que um número é múltiplo de outro quando o primeiro é resultado da multiplicação entre o segundo e algum número natural. Nesse mesmo caso, também é possível dizer que o segundo é divisor do primeiro.

Em outras palavras, dados os números x e y, dizemos que x é múltiplo de y se existir algum número natural n tal que:

x = y·n

Se esse número existir, podemos dizer que y é um divisor de x e podemos escrever:

x = n
y     

Dessa maneira, um bom teste para descobrir se um número qualquer y é divisor de outro número x é observar o resultado da divisão de x por y. Se o resultado for exato, y é divisor de x.

Por exemplo: 70 é múltiplo de 2, pois o número natural 35 multiplicado por 2 tem 70 como resultado. Em outras palavras:

70 = 2·35

Também podemos afirmar que 10 é divisor de 70, pois

70 = 7
10      

Múltiplos de um número natural

O conjunto que contém os múltiplos de um número natural é um subconjunto infinito do conjunto dos números naturais. Isso acontece porque os múltiplos são obtidos ao multiplicar o número em questão por todos os números naturais. Assim, o conjunto dos múltiplos do número 2 pode ser obtido da seguinte maneira:

2·0 = 0

2·1 = 2

2·2 = 4

2·3 = 6

Esses resultados podem ser escritos na notação de conjuntos:

P = {0, 2, 4, 6, 8, …}

Esses resultados são conhecidos como conjunto dos números pares.

Observe que é possível listar os múltiplos de um número qualquer realizando um procedimento exatamente igual ao de construir a tabuada daquele número.

Divisores de um número natural

Já o conjunto dos divisores de um número natural é um subconjunto finito dos números naturais. Isso acontece em virtude de alguns resultados diretos da definição de divisores:

a) O número 1 sempre é o menor divisor de qualquer número natural;

b) O próprio número sempre é o seu maior divisor;

c) Zero não é divisor de nenhum número.

Como existe um “maior elemento” no conjunto dos divisores de um número natural qualquer, esse conjunto é finito.

Para encontrar os divisores de um número natural, é necessário dividir esse número por todos os naturais menores que ele. Assim, os divisores do número 48, por exemplo, são:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48

Dizemos que o número 48 é divisível por qualquer elemento da lista acima.

Muitas vezes não é necessário realizar a divisão para saber se um número é divisível (ou divisor de) por outro. Basta consultar os critérios de divisibilidade, que podem ser encontrados aqui.

Números primos

São números primos aqueles que não são divisíveis por nenhum número natural, exceto 1 e o próprio número. Lembre-se de que qualquer número é divisível por 1 e por ele mesmo, mas nem sempre existe outro divisor para esse número. Por exemplo: o número 2 é divisível apenas por 1 e pelo próprio 2.

2 = 2
1      

2 = 1
2      

O conjunto dos números primos também é infinito. Contudo, quanto maior o número natural, menor a probabilidade de ele ser primo.

O procedimento usado para garantir que um número é primo é tentativa e erro. É necessário dividir um número por todos os naturais menores que ele para comprovar que ele é primo.

Mínimo Múltiplo Comum

Ao analisar dois ou mais números, é possível identificar o menor múltiplo comum que eles possuem, ou seja, escrevendo a lista de múltiplos de ambos, destacar o menor dos múltiplos que aparecem em ambas as listas simultaneamente. Por exemplo: O mínimo múltiplo comum (também chamado de MMC ou apenas mínimo) entre 6 e 20 é:

Múltiplos do 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, …

Múltiplos do 20: 0, 20, 40, 60, 80, …

Observe que o primeiro número que aparece nas duas listas ao mesmo tempo é 60. Logo, o MMC entre 6 e 20 é 60.

Um método prático para fazer esses cálculos pode ser encontrado aqui.

Máximo divisor comum

Segue a mesma ideia do mínimo múltiplo comum, porém, procurando o maior divisor nas duas listas. Por exemplo: o máximo divisor comum (também chamado de MDC) entre 6 e 20 é:

Divisores do 6: 1, 2, 3 e 6

Divisores do 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20

O número 2 é o maior dos divisores comuns entre os números 6 e 20 (e o único). Um método prático para procurar o máximo divisor comum entre dois números pode ser encontrado aqui.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Múltiplos e divisores"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm>. Acesso em 12 de dezembro de 2017.

Questão 1

(PMSC1201/001-Assistente Administrativo – 2012) – Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi

(A) 74.

(B) 88.

(C) 96.

(D) 102.

(E) 112.

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