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Equação exponencial

Matemática

Uma equação exponencial é uma expressão algébrica que possui uma igualdade e pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes.
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Para ser considerada equação, uma expressão precisa ter pelo menos uma incógnita, que é um número desconhecido representado por uma letra, e uma relação de igualdade. Dessa maneira, as equações exponenciais são aquelas que possuem pelos menos uma incógnita no expoente e bases positivas diferentes de 1.

Assim, são exemplos de equações exponenciais:

4x + 2 + 16x = 8

16x + 42x = 32

Resolução de equações exponenciais

Resolver uma equação é encontrar o valor numérico das incógnitas que aparecem nela. Para isso, é preciso ter clareza sobre os seguintes conteúdos:

Além disso, existe uma propriedade das equações exponenciais que é indispensável para sua resolução:

ax = ay ↔x = y (a > 0 e a diferente de 1)

O que essa propriedade garante é que, se duas potências de mesma base são iguais, os expoentes dessas potências também são.

Veja um exemplo:

3x = 27

Observe que 27 é igual a 33. Substituindo esse valor na equação, teremos:

3x = 33

Note que as bases são iguais. Agora podemos usar a propriedade das equações exponenciais e escrever:

x = 3

Exemplos:

1º – Resolva a equação: 2x + 4 = 64.

Solução:

2x + 4 = 64

Observe que 64 é uma potência de base 2, pois 64 = 26. Substituindo esse valor na equação, teremos:

2x + 4 = 26

Usando a propriedade das equações exponenciais, teremos:

x + 4 = 6

Para finalizar, basta calcular a equação resultante.

x = 6 – 4

x = 2

2º – Calcule o valor de x na equação:

16x
         4x

Solução:

Nesse exemplo, usaremos uma propriedade de potência que permite inverter a base que está na forma de fração. Queremos que a incógnita esteja no numerador para facilitar os cálculos, então, sabendo que, ao inverter a base de uma fração, invertemos também o sinal de seu expoente, podemos reescrever a equação dada da seguinte maneira:

16x
         4x

16x = 4– x

Agora repetimos os procedimentos usados no exemplo anterior para obter:

42x = 4– x

2x = – x

2x + x = 0

3x = 0

x = 0

3º – Calcule o valor de x na equação:

(2/5)3x = 25/4

Solução:

Observe que 25 é o resultado de uma potência de base 5, e 4 é resultado de uma potência de base 2. Além disso, 25 está no numerador e o 4 está no denominador da segunda fração. A primeira fração está invertida nesse sentido.

Para inverter uma fração, basta trocar o sinal de seu expoente. Observe:

(2/5) 3x = 25/4

(5/2)– 3x = 25/4

Reescrevendo a segunda fração na forma de potência e aplicando uma das propriedades de potências, teremos:

(5/2)– 3x = (5/4)2

Observe que as bases são iguais. Agora basta usar a propriedade das equações exponenciais para obter:

– 3x = 2

x = – 2
      3


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Equação exponencial"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-exponencial.htm>. Acesso em 24 de junho de 2017.

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