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Área da pirâmide

Matemática

A área da pirâmide é a medida relativa à sua superfície e é obtida pela soma das áreas das bases (poligonais) e de todas as faces laterais (triângulos).
A área da pirâmide é a medida de sua superfície
A área da pirâmide é a medida de sua superfície
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A área de uma pirâmide é uma medida relacionada com a sua superfície. As pirâmides possuem um polígono qualquer, chamado de base, e faces laterais triangulares. Assim, a área da pirâmide (A) é a soma entre a área de sua base (AB) e a área de suas faces laterais (AL). Em outras palavras:

A = AB + AL

A área das faces laterais de uma pirâmide é obtida pela soma de todas as áreas de cada uma de suas faces laterais.

Cada caso deve ser analisado separadamente, pois as pirâmides nem sempre são regulares e de base quadrada, como as do Egito. Quando uma pirâmide é regular, podemos calcular a área de apenas uma face lateral e multiplicar o resultado pelo número total de faces laterais para encontrar AL.

Veja um exemplo de cálculo de área da pirâmide regular.

Exemplo

Vamos calcular a área de uma pirâmide regular quadrangular que possui as seguintes medidas: a aresta da base mede 18 cm e a altura mede 12 cm.

Como essa pirâmide é regular, basta calcular a área de uma face lateral e multiplicar esse resultado por 4 (número de faces laterais) para obter AL. Para isso, precisamos calcular a apótema dessa pirâmide. Isso pode ser feito pelo teorema de Pitágoras:

Pirâmide: exemplo 1

Observe na imagem acima que g é a apótema da pirâmide e m é a apótema da base. Com a altura, essas medidas formam um triângulo retângulo. A medida de m é 9 cm, pois a extremidade da altura de uma pirâmide regular coincide com o centro do quadrado. Assim, por Pitágoras:

g2 = 92 + 122

g2 = 81 + 144

g2 = 225

g = √225

g = 15

A apótema da pirâmide regular é a altura de suas faces laterais. A área de uma face lateral é a área do triângulo cuja altura (apótema) mede 15 cm e cuja base mede 18 cm:

AF1 = 15·18
         2

AF1 = 270
         2

AF1 = 135 cm2

A área total das faces laterais é igual a quatro vezes a área de apenas uma delas, pois a pirâmide é regular:

AF = 4AF1 = 4·135

AF = 540

Falta ainda calcular a área da base dessa pirâmide. Como ela é quadrada e sua aresta mede 18 cm teremos:

AB = 182

AB = 324 cm2

A área da pirâmide é dada por:

A = AB + AL

A = 324 + 540

A = 864 cm2

Se a pirâmide não for regular, é necessário calcular cada uma das faces laterais e somá-las para depois calcular a área da base.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Área da pirâmide"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-piramide.htm>. Acesso em 19 de agosto de 2017.

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